Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
точкой разветвления функции. В указанном примере dwjdz бес-
140
конечно при 2=а, подтверждая тем самым, что z = a есть особая точка, хотя
обратная функция z(w) = да2 + а является регулярной в соответствующей
точке ш = 0, которая также называется точкой разветвления. Важно
отметить, что dzjdw = 0 при ш = 0. Условием того, что функция имеет
единственную противоположность в некоторой точке, является отличие ее
производной от нуля в этой точке.
Как показано в п. 43, отсутствие стремления к нулю производной- важное
условие, поскольку оно обеспечивает отображение областей в масштабе один
к одному, что является существенным требованием для использования в
гидродинамике. Таким образом, в данном случае w(z) не является
однозначной функцией, поскольку dz/dw = 0 при да = 0, и соответственно У
z-а не может быть разложен в ряд Лорана вокруг точки г = а.
Свойства функций в точках разветвления более подробно рассматриваются в
п. 45.
Следующие простые примеры иллюстрируют аналитические функции, которые
регулярны всюду, за исключением некоторых особых точек. Функция w =
z2jrbz дифференцируема и имеет производную dw/dz = 2z + b. Функция
становится бесконечной при г= оо, что соответствует ее особой точке. Она
имеет точку разветвления при 2 = 6/2, когда w(z) регулярна и однозначна
но обратная функция z(w) не обладает этими свойствами. Разделение на
действительную и мнимую части дает
ф + 1ф = (х + iy)2 + b(x + iy) = х2 - у +bx + i (2ху + by).
Фактически здесь имеется два уравнения, так как действи тельная и мнимая
части должны быть по отдельности равны:
ф = х2-у2 + Ьх; ф = 2ху + by.
Легко показать, что эти функции удовлетворяют уравнениям Коши - Римана.
Аналитическая функция с полюсами, которая регулярна всюду, за исключением
полюсов z=± 1, иллюстрируется следующим примером:
Неаналитическая функция иллюстрируется следующим примером:
w = (х - iy)2 = х2 + у2 -¦ 2 ixy.
Можно показать, что производная этой функции зависит от пути
дифференцирования, а действительная и мнимые части ее не удовлетворяют
уравнениям Коши - Римана.
41. Интегральная теорема Коши. Интеграл функции комплексного
переменного в пределах 2=а и 2=6 зависит не толь-
141
ко от этих конечных точек, но также от пути в плоскости г, соединяющего
эти точки. При определенных условиях, однако, аналитические функции
получают замечательное и существенное свойство, заключающееся в том, что
их интегралы перестают зависеть от пути.
Для точного установления этих условий необходимо определить понятие о
связности области. Область называется связной, если любые две точки в ней
могут быть соединены непрерывной
кривой без пересечения ее границ. Область называется односвязной, если
любая замкнутая кривая в ней может постепенно стягиваться в точку, не
покидая ее пределов. Так, кольцеобразная область между двумя
концентрическими окружностями не является односвязной, поскольку
замкнутая линия, окружа-
Рис. 46. Многосвязная область ^щая внутренний круг, не может
быть стянута в точку. Такая область называется двухсвязной. В этом случае
разрез, соединяющий внутреннюю и внешнюю границы, делает область
односвязной, позволяя замкнутым кривым в области беспредельно
сокращаться. Если для создания одно-связной области требуется два разреза
(рис. 46), то область называется трехсвязной и т. д. Замкнутую кривую
можно обойти одним из двух способов. Условно можно принять, что способ
будет позитивным, если область при обходе по ее контуру, включая разрезы,
остается слева.
Теперь можем сформулировать основную интегральную теорему Коши. Если f(z)
-регулярная функция в односвязной области D, то f f(z)dz = 0, где С
обозначает некоторую замкнутую с
кривую, лежащую внутри области D. Теорема также утверждает, что если две
различные линии в области D соединяют точки а и b и образуют замкнутую
кривую, интеграл между этими точками не зависит от вида линии. Если
написать f{z) = <f> (х, у) + hp (х, у), то интеграл составит
j* (ф + г'ф) {dx + idy) = f (<fidx + ф dy) + i [ (ф dx + (fidy).
с с с
Согласно теореме Стокса этот интеграл равен
АС Ас
где Ас обозначает площадь, ограниченную замкнутой кривой С. Поскольку
последний интеграл в силу уравнений Коши - Рима-на исчезает, теорема
доказана.
142
Можно показать, что интегральная теорема Коши справедлива и тогда, когда
функция / (z) нерегулярна вдоль кривой С, при условии, если она регулярна
в области, ограниченной кривой С, и значения ее неразрывны с принятыми на
границе. Это распространение теоремы особенно важно для двухмерного
потока, обусловленного размещением источников или вихрей вдоль границы.
Интегральная теорема Коши может быть сформулирована также для
многосвязных областей. Если С0, Си..., Сп - простые (непересекающиеся)
замкнутые кривые, расположенные целиком в области D таким образом, что
Сп лежат внутри
кривой С0, но вне друг друга (см. рис. 46), а функция f(z) регулярна и
однозначна на границах многосвязной области, содержащей кривые С0,
