Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 50

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 132 >> Следующая

функции / (z) = 1 - 2г + iz2 = l - 2i + i(x + iy)2;
а) / (z) = 1 - 2 i + iz2 = 1-2 i + i(x~ iy)2, здесь z заменено z в
функциональной форме;
б) f(z) = 1 -f 2 i- iz2,
здесь изменены знаки перед всеми членами, содержащими г, за исключением
г;
в) f(z) = f (г) = 1 + 2t - iz2 = 56 - гф ,
здесь имеем случай обычного сопряжения, при котором знаки перед всеми
членами, содержащими i, меняются.
Для действительных дифференцируемых функций, таких, как y = f(x),
значение dyjdx определяется нахождением предельного значения бу/бх для
двух соседних точек на некоторой кривой, когда б% стремится к нулю. Этот
процесс является прямым в том смысле, что данная точка может приближаться
к другой только по кривой, определяемой зависимостью y = f(x). Анало-
10-1459 137
Рис. 44. Графическое представление комплексного числа
гичный процесс для непрерывной комплексной функции w = f(z) осложняется
тем фактом, что в данном случае находятся во взаимосвязи две области или
плоскости, вследствие чего любая точка может приближаться к другой по
бесчисленному количеству направлений.
На рис. 45 представлены два особых случая. Если 6t/=0, как, например, для
линии РРь сближение точек происходит по направлению, параллельному оси х.
Для линии РР2 Ьх - О и путь
сближения точек параллелен оси у. В первом примере z\ - x+bx+iy, и
соответствующее значение w составляет
Рис. 45. Отображение комплексных чисел
Wx = ф (х + 6л:, у) +
+ i ф (х + Ьх, у).
В форме приращений имеем:
bw
bz
Wi-W ______________________ 01 + I1|>1 - 0 - П]
Zi - Z
Xi ¦
отсюда
dw
dz
bw
lim --
Sx->0 bz
60
dx
= .M. _l i ii.
bx bx
. Эф
dx
Во втором имеем
примере 8z = i8y и аналогично предыдущему
dw
dz
bw
- hm -
; 8^-H) bz
d0 . Эф dy dy
(94)
Два результата, полученные для dwjdz, одинаковы только при удовлетворении
следующих условий:
d0 Эф Эф d0
dx dy dx dy
Уравнения (94), называемые уравнениями Коши - Римана, показывают, какие
условия необходимы для возможности дифференцирования f(z), т. е. для
того, чтобы значение dw/dz было единственным независимо от пути
дифференцирования. То, что эти условия также достаточны, если частные
производные от ф и ф непрерывны, можно показать следующим образом. Из
уравнения
w = Ф (х, У) + i Ф (х, У)
получаем
d0
I
d0
/7 fl
Эф
/7 v
Эф
/7 ti
или, используя уравнения Коши - Римана,
dw = ---- (dx -f idy) -f i (dx -)- idy).
dx dx
Отсюда производная
т. e., как уже было показано, результат не зависит от пути
дифференцирования.
Функция, дифференцируемая для значений z в области плоскости г,
называется регулярной и аналитической в этой области. Точка, в которой
удовлетворяются указанные условия, называется регулярной. Аналитическая
функция, однако, характеризуется не только поведением совокупности ее
регулярных точек, но также и ее особыми точками. С точки зрения теории
функций последние представляют большой интерес и требуют глубокого
изучения.
Из теории аналитических функций известно, что функция w=f(z) может быть
разложена в ряд Тэйлора относительно точки регулярности z0:
Ряд сходится в большой круг с центром в точке z0; в этом круге функция
остается регулярной. Аналитическая функция, однозначная вблизи
изолированной особой точки Zq, может также быть разложена относительно
этой точки в ряд Лорана:
Если Z\, z2,... - расстояния от точки z0 до других особых точек функции
f(z), - расположены в порядке возрастания их величины, то функция f(z)
может быть представлена многими рядами Лорана, каждый из которых
соответствует концентрическому кольцу между следующими одна за другой
окружностями с центром в точке z0, имеющими радиусы г -г и т2, ... .
Точка z - z0 называется полюсом, если в ряду Лорана для кольца,
расположенного в непосредственной близости от Zo, имеется ограниченное
число отрицательных членов г-г0; эта точка называется существенно особой
точкой, если отрицательные члены в этом разложении образуют бесконечный
ряд.
Так, функция
w = а0 + ах (z - z0) + а2 (г - г0)2 Н ,
ап = !(П) (*о).
f (z) p a2 (z - г0)2 + at {z - z0) +
+ ao +
/(2) =
г(г-l)(z -2) 2z z
+
2 (z - 2)
10*
139
будет разлагаться во множество рядов Лорана около точки z=0. В
концентрическом кольце 0< | г J < 1 эти члены могут быть разложены как
1
2(z-2)
откуда
= 1 4 2 4- Z2 + .
1 - - 2
~т(1 + Т + '? + "'1'
H2)-i+S Д1
1 \
2Л+2 /
п=0
В концентрическом кольце 1< [ г | <2 1 1 1
2
1
1
1 - -
2
при
Отсюда
1
1
< 1, но- имеет то же разложение, что и раньше.
т-1-Е
f-i
v 2
1

л=о 1
Наконец, для|г| >2 -- имеет то же разложение, что и в пре-
дыдущем случае, но при
1 _
2(г - 2)
А
г
J_
2z
<1
->л-1
л=0
и отсюда
/(2) = V
г"-1-1
п=2
Другой часто встречающейся особой точкой является точка, соответствующая
алгебраическому разветвлению, такая, как z = а в функции w= Yz-а. Эта
точка называется особой потому, что w после полного обхода вокруг точки а
в плоскости z не принимает своего первоначального значения и оказывается
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed