Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 5

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 132 >> Следующая

- х2 - 2х4 - х5 = 0;
Х3 Т" Х4 "Т Х5 - 0.
Так как число неизвестных здесь превышает число уравнений, единственное
решение, очевидно, невозможно - иными словами, существует не одна
безразмерная комбинация этих пяти величин. Действительно, уравнения могут
быть решены совместно для любых трех переменных при произвольном значении
двух остальных, что указывает на бесконечное число возможных ком-
2*
11
бинаций. Однако из теории линейных уравнений известно, что только
ограниченное число комбинаций (в данном случае две) может быть
независимым.
Вообще если коэффициенты любой системы линейных уравнений образуют
матрицу, в которой число столбцов п больше числа рядов т, то ранг г этой
матрицы является максимальным порядком неисчезающих определителей,
которые могут быть образованы из т рядов и п столбцов. Алгебраическая
теория утверждает, что (это будет показано ниже) существует единственное
решение уравнений из любых г членов при условии, что детерминант,
составленный из коэффициентов, не является нулем; любой подбор делается
для оставшихся членов, неравных нулю. Далее теория утверждает, что здесь
имеется только п-г линейных независимых решений; это значит, что любой
другой подбор оставшихся членов будет просто давать полученные ранее
комбинации. Поэтому в общем случае число линейно независимых решений
линейных уравнений для степеней размерных величин дает также определенное
число безразмерных произведений в целой системе.
Размерная матрица, составленная из коэффициентов в задаче движения
жидкости по трубам, будет иметь следующий вид:
D V р dp й
dx
L 1 1 -3 -2 - 1
Т 0 -1 0 -2 - 1
М 0 0 1 1 1
Очевидно, что эта матрица содержит по крайней мере один детерминант
третьего порядка, неравный нулю (например, с правого или левого края),
следовательно, это - матрица третьего порядка, и соответствующее число
независимых безразмерных произведений равно двум. Они вычислены путем
приписывания любым двум показателям степени, например и Х5 в обоих
случаях, размерных величин подходящих значений, кроме двух нулей -
например 1 и 0 для первого решения и 0 и 1 для второго. Тогда уравнения
принимают следующий вид:
Хх + *2 - Зх3 - 2 = 0;
- х2 -2 = 0;
л:3 -f- 1 = 0
12
xi + х2 - Зх3 - 1=0; -- х2 -1 = 0; хз "Ь 1=0.
Последовательное решение каждого из уравнений дает величины, сведенные
для удобства в следующую форму:
D V Р dp dx Р
1 -2 1 -1 1 0
п2 - 1 - 1 -1 0 1
Соответствующие П-члены выглядят так:
п Ddpjdx_ и п _м_ р V2 DV р
Широко используемый принцип соотношения этих членов, известный как П-
теорема, может быть сформулирован следующим образом: если для описания
какого-нибудь физического явления необходимо п величин и если эти
величины влекут за собой т размерных категорий, соотношение может быть
сведено к такому, которое содержит п-г безразмерных произведений, причем
/¦< m является рангом пХт размерной матрицы.
Таким образом, если
/(Ль Л2,.." Л") = 0, (1)
то П-теорема гласит, что эти п размерных переменных могут быть объединены
в равноценное выражение, включающее на г меньше членов:
F(Ylv П2,..., Пл_г) = 0. (2)
Каждая из этих безразмерных переменных состоит из r+1 первоначальных
единиц. П-теорема подчиняется строгому доказательству, основанному в
значительной степени на уже указанном требовании, чтобы математическое
выражение физического закона не зависело от единиц измерения;
доказательству может быть придана следующая форма. При рассмотрении
задачи о движении жидкости по трубам ясно, что
l(D,V, Р.-?,ц) = 0.
13
Это выражение может быть записано и как
f (d, V, р, ~ П1; рКШ2) = 0.
D, V и р без ущерба для общего значения могут быть приняты равными
единице:
/(1,1,1,ПЬ П2) = 0.
Отсюда
Е(ПЬ П2) = 0.
Произведения, полученные для задачи о движении жидкости по трубам,
известны как коэффициент сопротивления и число Рейнольдса (фактически
обратные им величины; противоположные формы получились бы при введении
отрицательных, а не положительных показателей степени). Хорошо известно,
что первое из них является функцией второго. Однако различный выбор
переменных, которым приписываются произвольные показатели степени, дает
различные группы членов. Хотя П-теорема ясно доказывает, что выбранные
решения не независимы и, следовательно, ни одно из них не может содержать
ничего, что не имелось бы в других, вопрос о том, какую из различных форм
предпочесть, остается открытым.
Путем правильного выбора переменных, получающих произвольные показатели
степени, можно управлять появлением величины именно в одном или более чем
в одном произведении. Какие величины должны быть выбраны для появления в
каждом произведении и какие только в одном, зависит в большой степени от
ожидаемых результатов. Если переменная легко контролируется
экспериментально, желательно присутствие ее только в одном произведении,
чтобы ее независимое изменение воздействовало непосредственно на это
произведение. Переменная, выбранная для исследования в качестве зависимой
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed