Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
так мал, что градиент потенциала по всей его площади постоянен, находим
величину сопротивления, пропорциональную тангенсу противолежащего угла:
#1 = /ctg0! и т. д.
Конечно, в общем случае сопротивление изображается двумя треугольными
элементами по обеим его сторонам, и окончательно использованная величина
- это величина двух параллельных
133
сопротивлений. Например, на рис. 43 точная величина R находится по
соотношению R = K(tgQi tg 04)/(tg 0i+tg 04). Если одна сторона элемента
совпадает с границей, то значение соответствующего сопротивления
определяется только одним углом.
Хотя применение сетки сопротивлений позволяет частично избежать
последовательной обработки процесса релаксации, однако в зонах больших
ускорений размеры решетки должны быть уменьшены для сохранения
справедливости предположения о линейном изменении потенциала. Если
границы потока опреде-
Рис. 43. Расположение сопротивлений между соседними элементами
лены кинематически, как в струе свободного очертания, то процедура
последовательного приближения все-таки необходима для определения формы
граничных линий тока.
Пример 10. Приведенные схемы изображают сетку релаксации и
соответствующую электрическую сетку для части двухмерной системы, а)
Найти вычет в точке С после того, как в точках А я В были выполнены
стандартные коррективы, б) Вычислить Rx, если Р=200 ом.
а) Стандартная поправка равна четверти вычета. Первоначально вычеты в
каждой точке таковы:
А ... 360 + 280 + 140 + 220 - 4(240) = + 40;
В . . . 5С0 + 392 + 280 + 360 - 4 (380) = + 12;
С ... 380 + 290 + 170 + 240 - 4(280) = - 40.
134
Увеличив потенциалы в точках А и В на 10 и 3, соответственно уменьшим
вычет в точке С до -27.
б) Каждый из углов, используемых для вычисления сопротивлений в сетке.
равен 45°, так что постоянная сетки К составляет
К = - (t§ д1 + °г) = 200-2 = 400 ОЛ1.
tge,"ge2
Углы, соответствующие Rx, равны 60 и 90°; для иллюстрации того, что
правый угол не влияет на величину сопротивления, можно привести основное
уравнение
1 1 1 1/1 1 \ 1/1
Глава IV
КОНФОРМНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВУХМЕРНОГО ПОТОКА
А. Введение к функциям комплексного переменного
40. Функции комплексного переменного. Хотя все двухмерные потоки могут
быть исследованы методами, изложенными в предыдущих главах, однако более
действенным средством их представления является теория комплексных
переменных. Функция потенциала и функция тока всякого плоского
безвихревого потока могут рассматриваться как действительная и мнимая
части функции комплексного переменного, и наоборот. Рассматривая
различные функции, можно установить большое число двухмерных
потенциальных (безвихревых) течений, представляемых этими функциями.
Более того, оказывается теоретически возможным непосредственное
определение потенциальной функции, удовлетворяющей заданным граничным
условиям, ибо теория показывает, как преобразовать произвольную форму в
круг и таким образом отобразить характер течения произвольной формы на
круге, решение для которого дано в главе III.
Ознакомление с функциями комплексного переменного будет проведено в двух
направлениях: во-первых, общая теория будет дана в приложении к
двухмерному безвихревому течению и, во-вторых, будут представлены
аналитические и геометрические свойства пяти элементарных функций, на
которых базируется техника непосредственного подхода к решению проблем
потенциального течения.
Предполагается, что читатель знаком с алгеброй комплексных чисел и их
геометрическим представлением как точек в прямоугольной системе
координат. Символ г, обычно применяемый для изображения комплексного
числа, состоящего из действительной х и мнимой у частей, представляет
точку на диаграмме Арганда (Argand), на которой действительная часть
откладывается как абсцисса, а мнимая часть как ордината (рис. 44).
Положение точки может быть определено прямоугольными (х, у) или полярными
(г, 0) координатами:
г = х + iy - r (cos 0 + i sin 0) = ref
136
где _______
г = Vх2 + у2 ; 0 = tg_1 -J- ; 0 < 0 < 2я.
л:
Здесь г - абсолютное значение или модуль комплексного числа, иногда
записываемый как |z|, а 0 - амплитуда или аргумент комплексного числа,
записываемый как argz.
Величина z = x-iy называется сопряженной с числом г. Так как zz - x2 +
у2, эта величина используется в упрощениях комплексных выражений.
Например, для выделения мнимой и действительной частей в выражении 1
•- записываем г
1 г х iy
г гг *2 + У2 *а + г/2
Другая комплексная величина w будет рассматриваться как функция
комплексной переменной z:
w = ifi + i$ = f(z),
здесь ф и ф - действительные величины.
Термин "функция" означает, что точка в плоскости z связана с одной или
несколькими точками в плоскости w согласно некоторому установленному
закону. В этом общем определении зависимость является слишком
произвольной, чтобы можно было показать, что ф и ф есть дифференцируемые
функции х и у. Ее необходимо выделить из трех различных сопряжений
