Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
34). Используя цилиндрические координаты (г, 9, z) и обозначая длину дуги
вдоль меридианного сечения, увеличивающуюся с увеличением z, символом s,
имеем для элемента площади
dS = 2 nrds
121
и для граничного условия на S
дф _ д? дг_
дп дп ds
Соответствующая вспомогательная функция потенциала является такой же, как
для диполя единичного напряжения, расположенного в произвольной точке t
на оси z внутри тела:
^ = ±=Г, где R = [(г -О2 + г2]1/2.
Функция тока Стокса для нее составляет я|/=-r2/R3. Тогда
дп г ds [r3 /
Отсюда уравнение (9С) приобретает вид
i
' ds R3 '
б
Рис. 34. Условное изображение тела р г/г__$г
вращения - 1 ¦ -
f Ф-(~
J ds U3
¦ ~ds, J R3 ds
0
где I - половина периметра меридианного сечения. Но
f 0±(JL)ds = 0jLL(i!L."d8 =
J ds \R*) * R* I J R3 ds
I
f
- (u - -) ds, R* \ ds)
о
поскольку r=0 при 5 = 0и/. Здесь и - общая скорость вдоль тела, когда
течение делается установившимся наложением потока единичной скорости в
положительном направлении оси г. Тогда получается
J R3 J [R3 ds R3 dsj
0
^JL.lz±ds *-*1
ds R R
= 2
о
или
5-
f dz = 2, (91)
. <"-<?+4 wF
122
т. е. интегральное уравнение первого рода. С помощью приема, аналогичного
приближению Мунка, можно показать, что u(z) = = dz/ds является
приближенным решением уравнения (91). В противоположность уравнению (88)
уравнение (91), несомненно, имеет решение.
Выбранный общий метод решения задач Дирихле и Неймана, приводящий к
интегральным уравнениям второго рода, основан на разрывах поверхности
распределений источников и диполей. Допустим сначала, что потенциал на
замкнутой поверхности тела S задан как 0 = f(PB), где Рв обозначает точки
на поверхности (рис.
35). Если допустить, что потенциал зависит от распределения диполей
А"(РВ) над поверхностью S по осям, перпендикулярным S, потенциал в любой
точке Р, расположенной снаружи от 5, составит по уравнению (54):
<й(Р) = -|Д"(Сэ) TwhrdS'
Рис. 35. Условное изображение распределения особенностей
где QB обозначает точки на поверхности S, изменяющиеся при интегрировании
в отличие от установленной точки Рв на поверхности, а Р(Р, QB) есть
расстояние между Р и QB¦ Когда Р приближается к S вдоль нормали,
потенциал приближается к пределу, данному уравнением (59):
I (Р.) = - 2яД" (Рв) - №,) " <"•
(92)
Как видим, это выражение является интегральным уравнением второго рода
для неизвестного распределения А"(Рв)-
Подобным же образом решение задачи Неймана можно сделать зависимым от
распределения источников М"(Рв) над поверхностью S. Потенциал у наружной
точки выражается при помощи уравнения (53) в виде
J "(Р'Яв)
и, так как Р приближается к поверхности по перпендикуляру, нормальная
производная потенциала, взятая по уравнению (58), приближается к пределу:
(93)
123
где п обозначает направление перпендикуляра к Рв. Поскольку (дф/дп)
является данной функцией, уравнение (93) представляет интегральное
уравнение второго рода для неизвестного распределения М". Уравнения (92)
и (93) не только играют важную роль в доказательстве существования
решений задач Дирихле и Неймана, но также служат основой вычислительных
операций для решения общих задач в потенциальном потоке.
Пример 9. Найти надежное решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяет
условиям, соответствующим волне на свободной поверхности (г=0) в воде с
глубиной h:
ф = С sin 3xcos 4(/, когда г = 0
И
дф/дг = 0, когда г = к.
На основании первого условия ф имеет вид
ф = С sin Зх cos 4у (Ее1г + Fe~li) , где Е F = 1 и/ = >/Г324-42=5.
Второе условие для всех величин у их дает
О = 5 sin Зх cos 4у (Eesfl - Fe~^h) ,
откуда имеем
EeSh- (I - ?)е~5Л = 0
или
е~5н e5h
Е~ e5h + e~5h ' F~ e5h + e~5h '
Подставляя эти величины Е и F в выражение для ф, получим решение
, ch5(z - К)
<р= С sm Зх cos 4у ---- ---.
сЬ5Л
Последний множитель представляет амплитуду колебания, которая уменьшается
от величины С на свободной поверхности до С sch 5h на дне.
Г. Техника приближенных решений
37. Графические методы. Единственной целью вычисления функции тока или
потенциала скорости для данных граничных условий является описание формы
линии тока соответствующего потока. Такое описание обычно равноценно
графическому изображению, так что построение формы течения чисто
графическими методами часто дает возможность хотя бы грубо
проверить другие приемы анализа. В какой степени можно положиться на эти
методы для количественных и качественных оценок, зависит от числа
факторов, затронутых в их применении.
Так называемая гидродинамическая сетка движения, часто используемая для
иллюстрации форм двухмерного потока в зависимости от их характеристик,
основывается на том факте, что
124
линии тока и потенциальные линии плоского безвихревого потока образуют
сетку, ячейки которой приближаются к совершенным квадратам, когда 6ф =
60->-О. При достаточно значительных величинах этих приращений,
необходимых для получения практически полезного числа делений
гидродинамической сетки, ячейки конечно будут существенно отклоняться от
