Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 44

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 132 >> Следующая

первоначального интегрального уравнения на интеграл ядра и определением
ядра как частного первоначального ядра и его интеграла.
В фредгольмовском методе выражения интегрального уравнения в виде системы
линейных уравнений квадрат, ограниченный линиями х=а, х=Ь, у=а и у=Ь,
подразделяется на п2 равных квадратов, координаты центров которых
обозначаются xit ух (рис. 32). Для удобства будет использована следующая
терминология:
f {Уi) = fj; g (Xi) = gt\ К (xb у,) = Kth где i, /=1,2, ..., п. Здесь
величины gt и Кц даны в числах, а функции fj неизвестны. Тогда
интегральное уравнение первого рода запишется в приближенной форме
П
:/ = gt> где f = 1,2,..., п, (85)
/=1
а уравнение второго рода выразится так:
п
= gi + fh где t = 1,2 п. (86)
;=1
У (а.Ь) (ь,ь)
Уц 1 -о- 1 1 -о- 1 1 -О- 1 1 -о- 1
Уз 1 -о- 1 1 1 1 -о- 1 1 -о- 1
Уг 1 -о- 1 1 1 1 -о- 1 4- 1
У, 1 1 1 1 1 1 4- 1
(а,а) | 1 1 1 1 1 1 1 1 I (ь,а) 1 1 ,
xi хг хз хч л
Рис. 32. Сетка для оценки интегральных уравнений
119
Таким образом, значения неизвестной функции f(x) в п точка: могут быть
определены приближенно в каждом случае решением ряда п линейных уравнений
с п неизвестными.
Первым случаем применения метода интегральных уравнений является
безвихревое течение вокруг небольшого тела вращения, обусловленное
равномерным потоком единичной скорости в положительном направле-Рис. 33.
Поток, обтекающий произволь- нии z. Примем, что на этот
ное тело вращения поток накладываются рас-
пределенные вдоль оси 2 диполи с осями в отрицательном направлении z
напряжением -A'(z) на единицу длины, простирающиеся от z = a до z = b
(рис, 33).
В форме цилиндрических координат (г, 0, г) функция тока Стокса из
уравнений (39) и (52) составит
ф(г,г) = - - г2 Г A'(t)dt з . (87)
' 2 J [(* - г)г + г2]3/2
а
Если Д'(0-известное распределение, то уравнение (87) дает поле скоростей
с поверхностями тока ф = const. В частном случае, когда твердое тело
вращения образует поверхность тока ф = 0, уравнение (87) представляет
способы получения потоков вокруг так называемых тел Ренкина. С
современной точки зрения, однако, желательно определять распределение
А'(0> когда задана форма тела. Тогда, обозначая величину г на теле как
rB=f(z) и принимая ф = 0, получим из уравнения (87) интегральное
уравнение первого рода для неизвестной функции A'(t):
A'(t)dt -i-. (88)
I
Приближенное решение уравнения (88) для удлиненных тел было дано Мунком.
Предполагая, что гв <С1&- а|, видим, что подынтегральное выражение растет
очень быстро, когда t приближается к z. Таким образом, поскольку основное
воздействие подынтегрального выражения проявляется на очень коротком
участке оси г, значение интеграла лишь немного изменится при изменении
пределов на бесконечности и замене A'(t) на А' (2). Уравнение (88) тогда
приобретает следующий вид:
Vzf *__________________= -
J + 2
120
Интегрирование его дает
А'(г) = ^
(89)
- исключительное простое, так же как и полезное соотношение между
напряжением диполя и размерами тела. Величина A'(z) может быть
использована для приближенного определения линий тока и поля скоростей
вокруг тела, или может служить первым приближением для итерации формулы
[уравнение (84)].
Так как распределение, обусловливающее осесимметричное течение, не
обязательно соосно с ним, как, например, распределения по кольцам вокруг
оси z, ясно, что существуют тела вращения, для которых уравнение (88) не
имеет решения. Тем не менее, контролируя погрешности последовательных
итераций, можно использовать итерационную формулу для получения полезных
приближенных решений. Метод Фредгольма также, очевидно, дает хорошие
приближения, если подразделения интервала ab не слишком мелки, т. е.
п<10.
Самый общий способ решения интегральных уравнений основан на обратной
формуле Грина - уравнение (35). Если ф - потенциал для наружного потока
вокруг простой замкнутой поверхности S, а ф' - любая гармоническая
функция, к тому же без особенностей в наружной зоне поверхности S,
настолько удаленной, что фиф' исчезают в бесконечности достаточно
высокого порядка, тогда
(90>
S S
где п отсчитывается по направлению внешней нормали к поверхности S.
Поскольку функция ф' выбирается произвольно, ее можно рассматривать как
известную функцию. Таким образом, для задачи Дирихле, в которой ф задано,
уравнение (90) становится интегральным уравнением первого рода для
нахождения неизвестной функции дф/дп на поверхности S и аналогично для
задачи Неймана оно становится уравнением для нахождения значений ф на
поверхности S. И в том и в другом случае, если интегральное уравнение
было решено, значения ф и дф!дп на поверхности известны, и тогда
потенциал скорости в любой точке жидкости определяется уравнением (37).
Для иллюстрации применения уравнения (90) снова рассмотрим случай
осесимметричного потока вокруг тела вращения. Предположим, что тело
движется с единичной скоростью в отрицательном направлении оси г (рис.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed