Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 43

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 132 >> Следующая

> j------------------------------------
с хх
2 Т = АЩ + 2BUlU\ + С[/;2 + DU\ + 2 EU2U'2 + FU'*,
а3 '
Т '
В - 4яр (Дх -f- Д2 -)- ¦ • •),
что при последовательной подстановке выражений для напряжений диполя дает
R _ аЗЬЗ \ 1 I a3bi I 1
P c3 { (C2_a2 -Й2)3 }
и, по симметрии,
Соответствующие результаты для относительного движения, перпендикулярного
к линии центров, составляют:
36. Метод интегральных уравнений. Ни один из методов, описанных в двух
предыдущих пунктах, не подходит для решения задач с произвольными
границами. Когда границы в задаче не плоские, не сферические, не
эллипсоидальные, не круглоцилиндрические (или их двухмерное
соответствие), для получения решения применяются два других способа: в
одном уравнение Лапласа заменяется уравнением конечных разностей,
преобразование которого рассмотрено в следующем разделе; в другом задача
формулируется как линейное интегральное уравнение.
Существует несколько путей приведения задачи потенциального течения к
решению интегрального уравнения, и для частных случаев может быть
установлено бесконечное число различных интегральных уравнений. Однако
прежде чем приступить к изучению их, следует познакомиться с природой
интегральных уравнений и с возможностями и приемами для получения их
решения. Теория интегральных уравнений получила широкое развитие и
описана во многих книгах и статьях. Здесь можно представить только те
результаты этой теории, которые имеют непосредственное практическое
значение для настоящего случая.
Уравнение вида
где f{y) -неизвестная функция, a g(x) и "ядро" К(х, у) - известные
функции, называется интегральным уравнением Фред-гольма первого рода.
Если неизвестная функция находится также за интегралом, как в уравнении
ь
j/(У) К{х, у) dy = g(x),
а
b
J7 (у) К (X, у) dy = g (.X) + f (х),
а
117
то это будет интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В обоих
случаях допускается, что g(x) и К{х, у) неразрывны в пределах а < х < й,
а^у<,Ь.
Наиболее разработана теория интегральных уравнений в применении к
уравнениям второго рода. Для этого типа уравнений имеются теоремы,
совершенно аналогичные теоремам для линейных алгебраических уравнений.
Для интегральных уравнений первого рода таких теорем нет. Действительно,
частный метод Кармана, использующий осевое распределение источника-стока
для получения потенциального потока вокруг вращающегося тела, очевидно
приводит к интегральному уравнению первого рода, которое в общем случае
не имеет решения. Однако было установлено, что даже когда точные решения
не могут быть получены из уравнений первого рода, эти уравнения все же
можно применять для получения полезных приближений.
Из различных методов решения интегральных уравнений метод Фредгольма -
замена интегрального уравнения алгебраическим уравнением - кажется самым
простым, а метод итерации кажется наиболее точным. Метод Фредгольма
основывается на том, что определенный интеграл в интегральном уравнении
приближается к конечной сумме. Вследствие простоты этого метода, он будет
подробно разобран и проиллюстрирован далее. Большая точность метода
итерации объясняется сохранением интегралов в каждом повторении и
выражением их значений с помощью точной формулы квадратуры. Оценка
погрешности соответствующего интегрального уравнения получается после
каждого последовательного приближения, следовательно, повторения могут
быть закончены, как только будет замечено, что погрешность начала расти.
Последняя предосторожность особенно необходима для интегральных уравнений
первого рода, когда точного решения не существует. В этом случае, хотя
полный квадрат погрешности продолжает уменьшаться с увеличением числа
повторений, могут наблюдаться весьма большие погрешности в отдельных
точках.
Для интегральных уравнений второго рода существует хорошо известная
итерационная формула Неймана
ь
J /" (У) К (х, у) dy = g (х) + fn+l (х). (83)
а
Начиная с предполагаемого первого приближения fo(x) последовательность
функций ft(x), f2(x), ... дается уравнением (83). Если эта
последовательность равномерно сходящаяся, ее пределом является решение
настоящего интегрального уравнения. Можно показать, что повторная формула
сходится, если М - максимальное значение \К{х, у)\ в пределах а < х, у<Ь
удовлетворяет условию М\Ь - а | < 1.
118
Для интегральных уравнений первого рода существует совсем недавно
установленная итерационная формула
J fn (У) * (х> У) йУ = 8 (х) + /" (х) - fn+x (.х), (84)
а
сходимость которой для различных условий рассмотрена в литературе. В
обоих уравнениях (83) и (84) погрешность представлена разницей между
соседними приближениями fn+i (*) - -fn(x). Уравнение (84) пригодно для
практического применения, когда функция К(х, у) очень мала по сравнению с
единицей
всюду, кроме точки х - у, где К(х, у) становится намного больше
ь
единицы и J К(х, y)dy= 1. Последнее условие не ограничивает
а
общности уравнения, так как всегда может быть удовлетворено разделением
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed