Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
равномерного потока равен ф0= Uz= UR cos ft. Тогда для шара в равномерном
потоке будем иметь
R
- W~cosMl aR J
= u(r +--'jcosd.
I 2Rz)
Таким образом, отражение представляет диполь напряжением l/2Uas в центре
шара.
Следующая функция фа взята как потенциал источника напряжением М в точке
(с, 0,0) при с>а. Тогда
ф м
[tf2 - 2Pccosfl + с2]72
и, следовательно, потенциал источника вне шара составляет М , Ma/R
Ф =
+
R2
2 аЧ R
cos 'd-f-c2
Л
[/?2 - 2Rc cosФ + с2]1/2
(2MlaR) XdX_______________ _____________________________
Г Я4 2ХЧ n I1/. _ [R2 - 2Rc cos 4 + с2]'д - - cos w + с2
[R2 R J
M
+
113
"Ь
Ма/с
(M/a) dt
2Ra2 . a4
?>2 - --- cos ф _|_ -
с с
[Я2 - 2RI cos-fr-f I2]7*
что подтверждает правильность предварительно заданной системы отражения
для источника.
Вейсовская теорема о шаре дает отражение для системы наружного потенциала
в шаре. Также должна быть указана внутренняя теорема о шаре Лудфорда,
Мартинека и Еха. Если
' 1 1 о 1 1 1 5, л i-r, 1_ 1 5 ,i 1 1 S, I 1 1
71 -5| -J| -/ а +1 и 15 17
1 1 1 1 1 1
Рис. 30. Воображаемая (мнимая) система источников между параллельными
пластинами
(po(R, Ф, ср) является потенциалом распределения полного напряжения,
находящегося внутри шара R = a, тогда функция
со
Ф1 (R, 0, Ф) = у Фо (у , 0, Ф ) + у j Ьфо (у .fi.v'jdX (82)
а
является гармонической внутри шара и на нем, удовлетворяя равенство
д" (Фо + Фд= 0 на R = а. dR
Доказательство аналогично приведенному ранее для наружной теоремы о шаре.
Другой класс задач - с плоскими или круглыми границами, может решаться
методом последовательных отражений. В качестве начального примера
рассмотрим случай, когда источник М расположен в точке (а, 0, 0) между
параллельными плоскостями Рх и Р2 у х =- 1 и х= + 1. Первые отражения
источника на Pi и Р2, обозначенные на рис. 30 как ^ и SJ, могут служить в
качестве приближения для получения потока между плоскостями, но не дают
точного решения, поскольку Sj нарушает симметрию вокруг Ри требующуюся
для того, чтобы эта плоскость могла стать поверхностью тока. Для
сохранения симметрии необходимо получить отражение SJ на плоскости Рь
однако она снова нарушается, когда Si отражается на плоскости Р2 с целью
придания симметричности последней плоскости. Приближение к желаемому
потоку увеличивается с каждым отражением, но точное решение может быть
дано только бесконечным линейным рядом
114
источников при х = Ап + а и х = 4/г + 2 - а, когда п = 0, ±1, ±2, ...
Таким образом, точный потенциал выражается как бесконечный ряд
потенциалов начального источника и его отражений. Отсюда очевидно, что
система отражений для источника в прямоугольном канале, полученная
аналогичным путем с помощью последовательных отражений в двух взаимно
перпендикулярных парах параллельных плоскостей, состоит из двойного
бесконечного ряда источников в плоскости, проходящей через перпендикуляр
от начального источника к каналу.
Поле скоростей, обусловленное движением двух шаров в жидкости, также
может обрабатываться методом последовательных отражений. Самый общий
случай плоского движения двух шаров 5 и S' радиусами а и Ь с центрами А и
А', расположенными на расстоянии с друг от друга, осуществляющегося с
компонентами скорости U, V и U', V', показан на рис. 31. Примем, что фи
фг, ф\ и - потенциалы скорости, соответствующие следующим значениям
компонентов скорости:
Рис.
31. Два шара, движущиеся вдоль линии их центров
и V W V'
ф\ 1 0 0 0
фг 0 1 0 0
ф\ 0 0 I 0
ф\ 0 0 0 1
тогда решение для общего случая составляет
ф = [/0J + Уф2 + и'ф[ + ^02-
Справедливость этого выражения подтверждается, когда йф/dn удовлетворяет
заданные граничные условия на шарах. Кроме того, очевидно, что решения
для ф[ и ф2 могут быть выведены из решений для фi и ф2, так что должны
быть получены только последние решения.
115
Если бы шара S' не существовало, потенциал скорости, обусловленный
движением шара 5 с единичной скоростью в направлении оси х, был бы таким
же, как у диполя напряжением А0 = = а312 в точке А. При внесении в поле
шара S' граничное условие на нем удовлетворяется путем введения системы
отражения А0 в S', т. е. диполя Aj =-А0Ь3/с3 в точке, противолежащей А.
Знак минус означает, что отражение диполя направлено вдоль отрицательной
оси х. Для сохранения граничного условия на 5 необходимо отразить этот
отраженный диполь на S, а затем новый отраженный диполь на S' и т. д.
Продолжая в том же духе, получим бесконечные группы диполей в шарах 5 и
S', расположенные в последовательных противолежащих точках:
где хи х2,... - расстояния диполей д;, Л2, ... от А и х[ , х'2, ... -
расстояния диполей Дь Д2, ... от А', или
Соответствующий расчет для движения, перпендикулярного линии центров,
более сложен и здесь не рассматривается. Можно показать, что кинетическая
энергия жидкости для общего движения двух шаров имеет вид
и, применяя общее правило теоремы присоединенных масс Тэйлора, выразить
присоединенные массы А, В, ..., F непосредственно в форме диполей:
