Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
скорости имеет следующий вид:
оо Сю
ф = S Т. ciJs (V) (as cos 50 + bs sin SO) e~V .
1=1 s=0
Условие на окружности пластины видимо удовлетворено, так как Js(ksj)= 0.
Если мгновенная нормальная скорость у пластины задана в виде дф/дг=}(г,д)
при 2 = 0, тогда
со оо
/ (г, 0) = - У" ? Cjks!Js (ksjr) (as cos s0 + bs sin s0),
/=1 j=0
где произведения Cjas и Cjbs могут быть установлены применением
ортогональности. Так, если s>0,
2к 1
cias =-----------7ТГ Г Г 0) Js (kSjr) cos sQdrdQ.
[js(ks,)]2 J,1
n (
110
35. Метод отражений. Как указано ранее, формы тела или границы потока в
теории потенциальных течений представляются просто поверхностями тока,
геометрически подобными очертаниям твердых границ, имеющих практический
интерес; поскольку задача напряжений сдвига у границы не рассматривается,
то никаких трудностей из-за этого представления не возникает, ибо поток
не проникает ни через эти поверхности, ни через твердые границы. Однако,
как видно из уравнений для функций потенциала или тока, математическое
поле беспредельно, и здесь существует кажущееся поле потока по обе
стороны любой выбранной поверхности тока, например, в случае
моделирования потока, обтекающего шар, исследование уравнений покажет,
что неразрывное поле движения распространяется на произвольно большое
расстояние, выравниваясь после шарообразной поверхности тока к диполю в
центре. Поскольку любое другое замкнутое тело должно также включать
особенности, подобным же образом поля потока будут существовать по обеим
сторонам границы и поток будет всегда заканчиваться у внутренних
особенностей. Эта система внутренних особенностей считается как бы
отражением их наружной части. Если может быть найдено расположение,
природа и напряжение этих отраженных особенностей, их потенциалы вместе с
потенциалами механизмов течения, воспроизводящих наружный поток, дадут
полный потенциал для потока вокруг тела. Оценка этих потенциалов, однако,
вообще является трудной задачей. Только для случаев шарообразной, круглой
или плоской границ имеются способы, пригодные для определения отражений.
В случае плоской границы отражение становится тотчас же очевидным по
симметрии. Если источник напряжением М расположен на единичном расстоянии
от плоскости, система координат может быть выбрана так, чтобы источник
находился в точке (1,0,0). Если принять, что отраженный источник с таким
же напряжением находится в точке (-1,0,0), по симметрии ясно, что
плоскость yz будет поверхностью тока получающегося потока. Таким образом,
потенциал составляет:
Аналогично в двухмерном случае у источника напряжением т в точке (1,0)
существует отражение относительно оси х с тем же напряжением в точке (-
1,0), а получающийся потенциал равен
Результат для источника вблизи плоскости является особым случаем
источника вне шара. Если центр шара радиусом а находится в начале
координатной системы xyz, а источник напряжением М расположен в точке (с,
0,0), причем с>а, легко доказать, что система отражения состоит из
источника напряжением
+
ф = -у In [(дг- I)2 -ь у2] [(дг -f I)2 + у2}.
Ма/с в противолежащей точке (а2/с, 0,0) и равномерного линейного стока с
линейной плотностью М/а, протянувшегося от противолежащей точки к центру
шара. Доказательство основывается на том, что дф/дп = 0, когда г = а, где
ф - результирующий потенциал, обусловленный источником и отражениями:
Обычно, когда произвольный безвихревый поток несжимаемой невязкой
жидкости возмущается шаром, результирующий потенциал представляется
замечательной теоремой Вейса, известной как теорема о шаре. Функция фо(Я,
Ф, ср) обозначает первоначальный потенциал скорости, а Ф{Я, ft, <р)=фо +
+ ф\{И, Ф, ф)-потенциал возмущения, получающийся после введения шара
радиусом а в начало координат. Предполагается, что фо не имеет
особенностей, расположенных на поверхности или внутри шара. Тогда теорема
о шаре гласит, что потенциал ф\ при дф/dR - 0 на шаре составляет
Для доказательства этой теоремы нужно прежде всего показать, что члены
правой части уравнения (81) гармоничны для R>a. Подставляя первый член в
уравнение Лапласа в обозначениях сферической координатной системы и
принимая R' = a2/R, находим, что
для R>a, поскольку фо(Л', Ф, ф) гармонична для R<a. Это преобразование
одной гармонической функции в другую путем инверсии известно как
преобразование Кельвина. Так как подынтегральное выражение в последнем
члене уравнения (81) имеет такую же форму, этот интеграл также должен
быть гармоническим.
Остается показать, что при R = a
а
о
дф
дф0 , дф1
Но
_д_
dR
[iЩт-
ф
a^o a3 d0o(R' ,$,(рУ
R=a ~ ~R*~~ ~R* dR'
' Фо
L " dR a
- [- Г Кф0 /- , ¦ft, ф) dk
dR [aR J R T/ _"=a
_d_
dR
0
a/YR
.j V~R
0
V R
2_ t_d_ a_
" V~R I LV~R
ё=Фо(Я',*,Ч>)
R=a фа (а,#,ф)
Следовательно, подстановка в производную уравнения (81) дает
ддбПа.Ф.ф) _ dg60(a,d,q>)
dR dR
что и требовалось доказать.
В качестве первого приложения теоремы о шаре примем, что потенциал для
