Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
размеры, любое алгебраическое выражение физического соотношения между
двумя или большим количеством величин подразумевает эквивалентность их
размеров так же, как и равноценность значений. Таким образом, уравнение
V=V 2 gh указывает не только на то, что скорость свободного падения равна
корню квадратному из удвоенного произведения ускорения на высоту падения,
но также и на эквивалентность их размерностей. Сопоставление ряда
наблюдений позволяет записать это соотношение также в удобной форме V =
CV h. Именно в такой форме этот закон был открыт и затем использовался
более 100 лет. Конечно, коэффициент С здесь должен обладать как
соответствующей размерностью (корень квадратный из ускорения), так и
величиной. Иными словами, для физической точности необходимо, чтобы обе
стороны равенства не только были равны в числовом выражении, но и
уравновешивались по размерностям, т. е. члены уравнения должны быть
размерностно однородными. Форма любого уравнения, удовлетворяющего
2-1459
9
этому требованию и соответствующего описываемому явлению, совершенно не
зависит от выбора единиц измерения.
Второй закон движения, на котором базируется вся ньютоновская механика,
гласит: действие силы на тело создает ускорение, прямо пропорциональное
силе и обратно пропорциональное массе тела; результирующее алгебраическое
выражение этого закона может быть записано в виде
г F а = С .
м
Здесь С - размерная постоянная, величина которой зависит от выбранных
единиц для измерения длины, времени, силы и
[ масса • длина ] п й
массы; размерность ее ---------------- . Всеобщим соглашением
[ сила • время2
давно принято, что величина этой постоянной равна единице, поэтому любые
три размерные единицы определяют величину четвертой, и любая величина
размерной категории может быть выражена через три остальные. Длина, время
и масса приняты всеми в качестве трех основных категорий, но для удобства
можно считать, что
FT2'
ML
= 1,
где или F, Т, L, или М может рассматриваться как зависимая величина.
Например, интенсивность давления наиболее удобно измерять в единицах силы
на единицу площади [F/L2], но запись в единицах массы, длины и времени
[M/LT2] также совершенно верна; аналогичным образом, хотя наиболее
удобной размерно-стной записью для плотности представляется масса на
единицу объема [M/L3], ее также можно выразить через длину, время и силу
[FT2/L4\. Какие бы категории не были выбраны в качестве основных,
размерность любой величины в механике может быть выражена как
произведение [ЦЛ[Т]? [М]т, где а, р и у являются отвлеченными числами.
Так как любая полученная размерность зависит от трех основных категорий,
то все механические соотношения можно свести к безразмерной форме. Одно
безразмерное отношение совершенно очевидно, это F/Ma - отвлеченное число,
равное единице, так же как и У/У 2gh. Параметр потока для истечения из
отверстий Q/A\/~2ApJp' также безразмерен, хотя величина, которую он
выражает (коэффициент расхода), не всегда равна единице, значительно
изменяясь в зависимости от размеров отверстия и его очертания.
Размерное корректное соотношение всегда можно свести к безразмерной
форме, разделив каждый его член на соответствующее количество с
надлежащей размерностью. Например, если каждый член уравнения связи
давления и скорости для уста-
10
новившегося безвихревого потока при постоянном расстоянии от плоскости
отсчета р-po = p(Vo-V2)/2 разделить на рУф/2, получится безразмерная
форма (р-p0)/(pVl/2) = l- (V/V0)2. Не только эта форма записи для
заданного очертания границ будет численно независимой от использованной
системы размерностей, но даже график безразмерного соотношения будет
пригоден для любых масштабов и любых значений отдельных переменных.
Однако обычно при отсутствии под рукой соответствующих размерных
уравнений способ группировки переменных в ряды связанных безразмерных
членов не легко установить. Но именно тогда такая группировка особенно
желательна, так как безразмерные переменные всегда малочисленнее
размерных, из которых они составлены. Поэтому полезен метод, с помощью
которого такая группировка может быть получена автоматически.
6. П-теорема. Безразмерное произведение п размерных величин в общем
случае может быть представлено в виде
П= AXlAx'Ax,...AXn.
Здесь показатели степени - отвлеченные числа такой величины, что степень
каждой из от участвующих размерных категорий равна нулю. Это удобно
проиллюстрировать на пяти переменных (и = 5), входящих в задачу о
сопротивлении гладких труб (диаметр D, средняя скорость V, плотность р,
градиент давления dpjdx и вязкость р). В данном случае
П= Dx' V*2 р*
После введения трех размерных категорий (от = 3) получаем [П] = [L]*'
[ЬТ~1]Хг [МЬ~3]Хз [ML~2 Т~2]х> [ML-1 Г-1]*5
или
jjjj _ |?*1+*2-!3*3-2лг,-х5 j,-x2-2Xi-x5 J^xз+Xi+x^
Условия, при которых показатели степеней L, Т и М будут равны нулю,
представлены независимыми совместными уравнениями
xi + *2- Зх3 - 2х4 - х5 = 0;
