Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
sm ад [ ~dR j ^ х д ' sin10' 5<р2
записанном R гФепичесК^х координатах (R, О, ф), решения ф = =
F(R)G{(r))H(y) прииоДит к слеДУюЩемУ разделению переменных:
J_ А
F dR
(т^И - (sinO-) +
IR -jjf) GsinO Дд \ d& J
, =0.
"Г Н sin2 О dcp2
^ зависит только от i?, его можно прирав-Поскольку первый члеИ п/п, ю.
нять постоянной в виде ' '¦
(tm) 2# - п (я + 1) F = 0.
ДЯ2
г ,Рет вид 7?т, при помощи подстановки на-Предполагая, что F шКе_ (" +1)
Отсюда общее решение для f
ходим, что т - п или гП-' v ' v
составляет
/ = ^я+^Тг.
п ,"ц Лапласа члены теперь удовлетворяют
Оставшиеся в уравнение r J г
соотношению
sin О d ( . <v -\-п(п -j- 1) sin2 * H-- • - 0,
- • Д5Ш<>Д '
"исит только от m и, следовательно, также где последний член 33 но^_
Произвольное приравнивание этой будет постоянной велй^ решению (имеются
в виду только
постоянной к -s приРул v v 1
однозначные функции):
^ ^ as cos 5ф + bs sin вф.
103
Наконец, при подстановке p = cos уравнение для G получает вид
А
dp.
+ п(п ¦+ 1).
0. (71)
1-рН
Когда п и s - положительные целые числа, для решения этого однородного
линейного дифференциального уравнения второго порядка используются хорошо
известные полиномы и присоединенные функции Лежандра. Общее решение
уравнения имеет вид:
G = cP'(p) + (72)
где с и d - постоянные, a Функции вида
РМ~Г°М-А '
являются полиномами Лежандра в степени п, а функции вида Р'(р) = (1-цТ/2^
представляют присоединенные функции Лежандра первого рода и функции вида
Qn (р) = Q°n (р) - Т рп (р) In fit __
1 -р
1 (п) "-1 3(П- 1) "-з
QUp) = (i-^)s/2^^-
- присоединенные функции Лежандра второго рода. Таким образом:
Ро(р) = 1; pi(F) = p; рг 0*) = ~ №2 - 1); рз (м) = ~ (5и3 - 3|Х);
д0((|)=-1п^; QlM =-BLlniii-l;
хо vro 2 1 _ р ' 2 1 - р
<г,(и) = ф№*-
<Mi") = -j- ЭД|п ггсу;-!т и2 L I ¦
Функции Лежандра разделяют с тригонометрическими функциями свойство
возможности выражения кусочно-непрерывных однородных функций в виде
бесконечного ряда их членов. Это свойство является следствием
"ортогональности" семейства функций;
104
семейство функций rpi(x), грг(х), грз(х), ... называют ортогональ-
ь
ным, если для некоторого интервала от а до b j фтф"??л: = 0 при
а
тф п. Например, функции sinmx и соsnx ортогональны в интервале от 0 до
2л. Для случая т~п можно допустить, что
ь
j фл dx = cn. Наконец, можно предположить, что функция f(x)
а
может быть выражена как ряд:
f (х) = ахфх (ж) + а2ф2 (•'-') + азфз (х) +
Коэффициенты ап могут быть вычислены путем умножения уравнения
соответственно на фп(*) и интегрирования членов одного за другим. Таким
образом, получаем ъ ь
j f (х) % W dx = ап J фл dx = а"сп.
а а
Можно показать, что функции Лежандра первого рода ортогональны в
интервале от -1 до 1, т. е.
1
j рт Оа) рп М dp = 0 при tn=h п;
ГР)"]2 dp- {n + s)l
| 1 " '* ,J ' (n - s)\ 2п + 1
Комплектование произведения F(R) G (ф) Н (ф) и создание бесконечного ряда
таких членов приводит к общей потенциальной функции
СО tl
* = ? ? (№ + " К м + d(fn о*)] х
п=0 s=0
X ( 0(r) cos sq: + bsn sin sq)). (73)
Здесь Л = 1, Л = 0 для внутренней задачи и /4 = 0, 5=1 для наружной
задачи.
Для иллюстрации приложения вышеизложенной теории применим ее к решению
наружной задачи Дирихле для шара. Допустим, что функция ф = /(р, ф)
конечна за шаром и пригодна для разложения в следующую форму:
оо оо
/(и"ч>) =2 Ypn(v) + 'Zpsn(и)(апcoss(p+кsins<p)
п=0 s~l
в которой члены, содержащие Q)(p), должны быть опущены по граничному
условию. Тогда
8-1459 105
к,
2п + 1 (п - з)! 2п (п + s)!
(COS Sffi)
f (И. ф) Рп (Iх) 1 dP-d4 (sin 5ф)
и по уравнению (73) соответствующая потенциальная функция для наружной
задачи составит
Ф = X
п=0
/?Л-Н
~ Рп (Р-) + X Рп М ( ап C0S S(P + К Sin S(p)] •
s=l
Функции Лежандра встречаются также при применении метода разделения
переменных к ортогональным координатам, полученным внутренними сечениями
семейства конфокальных растянутых эллипсоидов вращения и семейства
конфокальных гиперболоидов (рис. 29). Если записать
* = У = с (1 - \P)'U (?2 - 1)'/г cos ф;
г = с (1 - р,2)72 (?2 - \)Чг sin Ф, (74)
где |р|< 1 и ? > 1, видно, что поверхности ? = const представляют
эллипсоиды, a p = const- гиперболоиды с общими фокусами в точках (±с,
0,0). Координаты р, ф образуют ортогональную систему координат,
относительно которой уравнение Лапласа может быть записано в виде (см.
приложение):
д_
др
-г
1
1 -
дгф __ <Эф2 д2ф (Эф2
(75)
106
Принимая ф = F(ц) G (t,)Н(q>), получим
1 dHl_
7(1 - ц2) dtp2
1 d2Я
Я(1-?2) ' dq>2
и отсюда, поскольку функции р, и ? находятся в разных частях уравнения,
его члены могут быть приравнены к такой же функции от ф, например [(ф).
Путем дифференцирования относительно ф найдено, что dfldф есть функция от
ф и ц, подразумевающая, что f(ф) - постоянная величина. Если эту
постоянную записать в форме n(ti+1) и переменные снова разделить в каждом
из образовавшихся уравнений, получим, что #(ф) имеет вид
и чго как /Др), так и G(?) удовлетворяют дифференциальному уравнению
