Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
гравитационных волн малой амплитуды, движущихся вдоль свободной
поверхности. Предполагается, что жидкость невязкая и несжимаемая, а поток
безвихревой. Начало координат взято в спокойной точке на свободной
поверхности, ось х горизонтальна и перпендикулярна фронту волны, ось у
направлена вертикально вверх. Требуется решить двухмерное уравнение
Лапласа
д2ф , д%ф _ q дх2 ду2
с граничным условием р = const на свободной поверхности.
Если у = ц (х, t) является уравнением свободной поверхности, общее
граничное условие [уравнение (22)] дает
D
а уравнение Бернулли дает
/У=т\
+ = С.
Принятое условие малой амплитуды волн позволяет пренебречь нелинейными
членами в двух предыдущих уравнениях, так что они приобретают вид:
Принимая во внимание разложение Тэйлора вокруг у = 0 из членов в скобках,
видим, что данное выше уравнение отличается от
более высоким порядком членов. Последняя форма граничного условия
свободной поверхности имеет важное преимущество, поскольку она выражает
известную и фиксированную поверхность у - 0. Если допустить, что ф - Т{1)
ф'(х, у), из предыдущего уравнения получим:
- граничное условие типа Коши на свободной поверхности.
Поскольку ф'{х, у) также удовлетворяет двухмерному уравнению Лапласа,
разделение переменных подсказывает решение в виде
ф' - (С cos kx + D sin kx) (Ееку + Fe~ky).
При наличии твердой границы у у - -h дополнительное граничное условие
дф[ду = 0 при г/ = -h дает
ф' = (С cos kx -f D sin?x) ch k (y -f- h).
Подставляя ф' в уравнение (67), получаем
отсюда путем исключения ri получаем
(66)
что при разделении переменных дает
Т = A cos cut -f В sin соt
и
(67)
со2 = kg th kh.
100
Комбинация двух решений вышеуказанного типа
ф = A (sin kx cos mt - cos kx sin (at) ch k (y 4- h) =
= A sin {kx - ch k (y + h) (68)
представляет собой очертание волны длиной h = 2n/k и угловой частотой со,
продвигающейся в направлении д: с фазовой скоростью U = <a/k. С учетом
приведенного выше уравнения для со2 эта скорость составляет
С/2 = th - . (69)
2л Я
Для глубоководной зоны (Ы'к>0,5) получаем
U = У g%/2я'/г;
для мелководной зоны (h/k<0,02) уравнение (69) приобретает вид
Профиль волны на свободной поверхности, полученный подстановкой ф из
уравнения (68) в уравнение (66), взятое при у = - 0, имеет вид
r| = a cos {kx - G)t).
Применим метод разделения переменных к уравнению Лапласа в плоскости
полярных координат
дгф . 1 дф 1 д2ф _ q
дг2 г дг г2 д0а '
полагая, что ф(г,&) = R(r)S(&). Это дает
d*s - о R ' dr2 R ' dr S ' d62
Так как первые два члена зависят только от г, а третий только от 0,
каждая группа в отдельности должна быть постоянна:
_L ЁД?_ = _2. г2 d*R г dR _
5 ' dB2 ~ П ' R ' dA R dr
Общие решения этих дифференциальных уравнений следующие: S = ап cos "0 +
bn sin пв при пф 0;
S = а0 + р при п = 0;
R - Агп + Вг~п при пф 0; R -- с In г + d при п = 0, так что получаются
гармонические функции
ф = |' Arn-\- ~ j (а" cos "0 + bn sin n0) ~f (а0 -f Р) (с In г ф d).
101
Сумма конечного числа таких решений также гармонична; если ряд однородно
сходящийся, получаем функцию потенциала
со
ф=¦у+2 (Лг п'+дг) ^cos л<0+ь*sin +
г=1
+ (а0 -+- р) (с In г + d). (70)
Предыдущий результат может быть применен к решению задач Дирихле и
Неймана для круга. Первая функция f (0) берется как заданные значения
потенциала на единичной окружности с центром в начале координат; это
кусочно-непрерывная однородная функция, т. е. кусочно-непрерывная
неразрывная функция с кусочно-непрерывными неразрывными производными.
Если необходимо найти потенциал, который удовлетворяет данному граничному
условию, является однозначным и не имеет особенностей внутри круга
(внутренняя задача), в уравнении (70) можно принять величины А =1, В = а
= с = 0; если необходимо решить наружную задачу, можно принять величины А
- 0 и В= 1. В любом случае, когда r= 1, граничное условие дает
00
f (0) = ^ (ап C0s я0 -f- bn sin л0) + а9,
п-\
что, за исключением члена а0, соответствующего циркуляции вокруг цилиндра
в наружной задаче, является разложением f(0) в ряд Фурье. Следовательно,
уравнение (70) дает решение внутренней или внешней задачи Дирихле для
круга.
Следующая функция g"(0) берется как заданные значения нормальной
производной потенциала на единичной окружности. Если снова допустить, что
потенциал выражается в форме уравнения (70), нормальная производная
потенциала для r= 1 составляет [когда g(0) однозначна]:
GO
?(в) = с ^ н (Л - В) (ctn cos пд -f- bn sin м0).
/2=1
Если принять Л = 1, В = 0 для внутренней задачи и Л = 0, fi = l для
наружной задачи, разложение g"(0) в ряд Фурье дает соответственно:
с - 0; ап = - Г g (0) cos "0d0;
ЯЛ J
о
2r.
bn - - Г g (0) sin nQdQ nn J
о
102
2л
dQ:
srl"(e)'
о
2л
-- ( g (0) cos tx Odd;
Qn пл J
о
2%
6""''iri*(9)sln',6ae-
о
гг .тоянных уравнение (70) дает решение на-
При этих значениях постд u ЛЛ "" Д ' ^
"дач Неймана для круга.
8
а / м \ & ( ¦ о, дф \ 1 д2ф _
• ч д пч дф \ и - sin О -2- Ч • ---------------- = 0,
