Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
(из п. 29)
2/С = - р [ф^-dS =
J дп
= - Р [ (U01 + Уфз + 1ЗД (u^ + v^+w^)ds =
__Р^1? + У% *+"%? +
Согласно формуле обратимости Грина
гак что приведенное выше уравнение может быть записано так: 2К = AU2 +
BV2 + CW2 + 2DVW + 2 EWU + 2FUV,
где А = - р Г фз dS и т. д.
J дп
Поскольку внутренние особенности действуют на тело, их следует исключить
из данной области, если функция ф гармоническая. Это удобнее всего
сделать, окружив каждую особенность очень малой сферой. Если полная
площадь поверхностей этих сфер равна S', тогда можно применить формулу
обратимости
93
Грина к потенциальному полю, ограниченному поверхностями 5 и S':
или
Г 01 - dS=[xd-^dS - [ ф^-dS' + f x dS'.
J ^ дп J дп dn J дп
Первый интеграл в правой части может быть вычислен путем применения
теоремы Гаусса, если учесть, что дффдп^дх/дп:
f dS= \x~dS = [-dW = W.
J dn J dn j dx
Интегралы за пределами S' будут вычисляться только для сфер вокруг
источников и стоков. Так как вблизи источника изменяется обратно
пропорционально изменению R, a dS' - прямо пропорционально изменению R2,
второй интеграл, как видно, исчезает, когда радиусы сфер приближаются к
нулю; в результате
Л = -plF -р j'x-^dS'.
Последний интеграл может быть вычислен путем подстановки -R вместо п (п -
нормаль, направленная наружу из внутренней зоны жидкости, т. е. к
особенности) и выведения х из-под интеграла, так как его можно считать
постоянным по радиусу очень малой сферы:
Л + рГ= рх f Щ dS'.
Последний интеграл представляет сумму интегралов такого типа по всем
малым внутренним сферам вокруг источников и стоков. По теореме Гаусса
каждый из этих интегралов пропорционален напряжению заключенного в нем
источника. Таким образом, для п источников получаем выражение
П
А + рW = 4яр У MtXj + • • •, (62)
г=1
где недописанные добавочные члены означают, что здесь могуг проявляться
воздействия из других особенностей, таких, как диполи и завихрения.
Остальные постоянные от В до F могут быть вычислены аналогичным способом.
Эти постоянные и есть искомые присоединенные массы.
Теорема Легалли, дающая прямое соотношение сил, действующих на тело, и
зарождающихся особенностей, базируется на распределении давления,
установленном уравнением Бернулли
94
в его более общей форме. Например, компонент силы по направлению х
составляет
Fx = -[p - dS= р Г • - dS + - f V2 - dS.
х J дп dt дп 2 J r dn
Поскольку координатные оси здесь движутся вместе с компонентами скорости
U, V и W, Уг представляет скорость движения жидкости относительно
начальной точки (см. п. 9):
У? = (U - и)* + (V - v)2 + (W - го)2.
Применяя способ, подобный только что использованному при выводе выражений
для присоединенных масс, можно показать, что когда особенности состоят из
распределенных источников и стоков напряжением М'" на единицу объема,
точечных источников и стоков напряжением М, а также диполей с
компонентами напряжения Ах, Ау и Д;, первый интеграл справа составляет:
Р Г*?_. ^LdS = pW - ~
J dt дп ^ dt - 4itp j" j M"'xdW + V (Мх + Ах) ' ,
где координаты х, у и z закреплены относительно движущегося тела, a U
является компонентом скорости данного тела по направлению х. Предположим,
что вращение тела равно нулю. Второй интеграл в правой части уравнения
может быть вычислен следующим образом. Из теоремы Гаусса
Г V2 - dS = [ д-^ dW- (V - dS'.
J r дп .) dx J ' дп
s w S'
Но, поскольку поток безвихревой:
1 ^ (^г) * r n du , j t,\ dv . i Ilvv dijj
T - " <"¦^ S + ^ * +<¦*-^ 17 =
= {u-U)2L + {v-V)?-+{w - W)?- =
дх ду дг
_ ди (и - U) L du (v - V) du (w - W) _ ^nM>"u
дх ' ду ' дг
где последний член получен из уравнения Пуассона (57) для дивергенции
скорости. Отсюда по теореме Гаусса
95
Первый интеграл справа исчезает вследствие граничного условия, что
нормальный компонент скорости точки твердой границы равен нормальному
компоненту скорости жидкости. Таким образом, остается объемный интеграл,
выраженный через напряжение источника, и поверхностный интеграл по S',
который может быть упрощен до
- (и2 - о2 - щ2) - -f uv - + uw -1 dS',
2 v дп дп дп J
где S', как и ранее, полная площадь поверхностей, окружающих особенности.
Полезно заметить, что в пределе, когда S' стремится к нулю, на интеграл
могут влиять только члены с квадратами длины в знаменателе. Конечное
значение интеграла будет следующим:
M"'udW + ди' , . ди' . . ди'
(63)
где и' - скорость (в месте нахождения особенности), обусловленная всеми
внешними воздействиями. Можно показать, что при вычислении силы и момента
воздействия внутренних особенностей пренебрежимы. Эти воздействия играют
роль внутренних сил, которые всегда встречаются в виде равных и
противоположных пар. Аналогичные результаты для моментов показывают к
тому же допустимость локализации сил при данных положениях особенностей.
Пример 8. Через тонкую трубку с открытым концом, погруженную в большой
резервуар, вода удаляется с расходом 4л кубических футов в 1 сек.
Принимая безвихревое движение и используя теорему Легалли, установить
