Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
интегралов удобно разделить рассматриваемую поверхность на две части:
одна - элемент бS) в непосредственной близости от точки Р, а другая - вся
остальная поверхность S2.
87
Если источники напряжением М" распределены по поверхности S, тогда по
уравнению (53) нормальная скорость vn в точке Р может быть выражена так:
vn = (Vn)i-fjM"(a, р)j-l±-ysz,
где (vn)i представляет воздействие элемента источника M"6Si на скорость
vn. По симметрии нормальная скорость, вызванная этим элементом с
противоположной стороны, равна (vn) 1 и направлена противоположно ей.
Следовательно, поток жидкости через дискообразный цилиндр (рис. 26)
вокруг элемента, образованный нормалями к поверхности по краям элемента и
заканчивающийся параллелями к поверхности, составляет 2(yn)i65i и
согласно теореме Гаусса
(ип)г = 2it М".
Поэтому когда точка Р приближается к поверхности с той стороны, куда
направлена п, или с противоположной, получаем соответственно
(+ Р) = 2я М" - f ДГ (а, р) -J- ^ dS; и" (- Р) = - 2яМ"- j М" (а, р) (^-)
dS.
s
Видно, что нормальная скорость повышается до 4лМ" при пересечении
поверхности.
Предположим далее, что распределение состоит из диполей напряжением А" с
осями, перпендикулярными поверхности 5. Тогда по уравнению (54) потенциал
у точки Р вблизи поверхности может быть записан в следующем виде:
S2
Здесь функция ф{, обусловленная элементом диполя A^SSi, также может быть
определена по уравнению (54)
фг = _ Д" ^ dS = -Д"Ф,
SS,
где А" - среднее значение Д" над элементом 6Sb а Ф - телесный угол,
образуемый элементом у точки Р. Следовательно, пре-
(58)
Рис. 26. Пояснительная схв' ма для поверхностного распределения
источников
дельное значение фг при приближении точки Р к поверхности составляет -
2яЛ" на положительной стороне распределения диполя и 2яЛ" на
отрицательной стороне. Таким образом, потенциалы на положительной и
отрицательной стороне соответственно равны
' ГА" (а, р) cos #
ф (+ Р) = _ 2яЛ" ф (- Р) = 2яЛ" - j
R2
А" (а, Р) cos ¦&
dS;
dS.
(59)
Рис. 27, Пояснительная схема для линейного распределения источников
Следовательно, поверхностное распределение нормально направленных диполей
вызывает разрыв величиной 4яД" в потенциале при пересечении поверхности.
В качестве примера использования данных уравнений рассмотрим неразрывное
распределение источников вдоль оси г между точками z = 0 и z~l. Функции
потенциала и тока для таких полей составят:
Ф=
М' (а) R
d а; ip
М' (а) cos \)da.
о о
Рассматривая рис. 27, видим, что
а - z - г ctg 'O'; R = r esc'б1; d a = r esc2 ftdft.
Следовательно, функции потенциала и тока в любой точке поля равны:
М (a) esc Qd(r)\
¦ г j М' (а) ctg 'О1 esc ФсЮ.
9i
89
Как функция потенциала, так и функция тока, обусловленные линейным
источником, конечно, симметричны относительно оси г. Если предположить,
что интенсивность источника постоянна вдоль всей линии, тогда М' {а)
=М/1, где М - общее напряжение источника. Поэтому для любой точки Р
функции потенциала и тока будут равны:
фр = -^\ n (CSC 9 - ctg *) ! = f In (-^Еггт) •
фР = (CSC А2 - CSC fly) = -у- (Д2 - Rj).
32. Сложные движения.
Потенциалы скорости, соответствующие движению предметов относительно
окружающей жидкости, могут быть образованы введением особенностей в поле,
представляющее поток ненарушенного характера. Наиболее распространена
техника введения источников, стоков, диполей и вихрей в относительно
простые общие потоки. Например, обтекание шара в безграничном поле (рис.
28) может быть получено путем введения диполя в равномерный поток, причем
ось диполя направляется по течению. Для равномерного потока со скоростью
U в направлении положительной оси г функции потенциала и тока в
обозначениях сферической системы координат составляют:
ф - UR cos А; ф UR2 sin2 А.
Если их прибавить к уравнениям для диполя, повернутого в сторону
отрицательной оси г, получим уравнения для обтекания шара:
ф = (JR cos А - cos А; ф = - UR2 sin2 А -I- - sin2 А.
R2 2 ' R
Соотношения между напряжением диполя, скоростью и радиусом шара могут
быть установлены при использовании того факта, что точка застоя должна
находиться на шаре. Таким образом, поскольку диполь расположен в
начальной точке, радиальные координаты точки с нулевой скоростью будут
равны радиусу а шара:
Рис. 28. Поле установившегося потока при обтекании шара
90
Ucos 0 + - cos 0 = 0:
dR R3
a =
Следовательно:
ф = UR cos 0 /l -|---------------] ; ф = - UR2 sin2 0 . (60)
В выводе уравнения для диполя были объединены источник и сток равного
напряжения, так что чистое напряжение было равно нулю. Это условие
равенства нулю чистого напряжения необходимо для сочетаний особенностей,
используемых для создания замкнутых тел в поле потока.
Когда источник и сток расположены в разных точках, тогда поверхность
потока, окружающая жидкость с этими особенностями, имеет скорее овальную,
чем сферическую форму; эта общая группа тел известна под названием
твердых тел Ренкина. Однако диапазон кривизны, которая может быть
