Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать или как поток плоского типа, который будет подробно
обсуждаться в главе IV, или как неразрывный прямолинейный вихрь в трех
измерениях. В последнем случае мы имеем вихрь более общего типа, для
которого потенциал представляет векторную функцию.
Двухмерный источник. Чередование уравнений для функций потенциала и тока
преобразует концентрические окружности линий тока в эквипотенциальные
линии, а радиальные линии экви-потенциалей в линии тока. Это является
характерным для двухмерного источника, который, подобно вихрю, может
рассматриваться или как особая плоскость, или как особая неразрывная
прямая линия в трех измерениях. Если символ m использовать для
обозначения напряжения, уравнения приобретут следующий вид:
cfo = m\nr, ф = цг0. (48)
Так как напряжение М в точечном источнике или стоке было по размерности
эквивалентно объемному расходу, значение m в вышеуказанных уравнениях
должно иметь размерность объемного расхода на единицу длины. Если
значение пг отрицательно, тогда поток направлен радиально внутрь по
отношению к оси г, так что он представляет двухмерный сток. Как для
источника, так и для стока расход на единицу длины вычисляется следующим
образом:
2г
и = ; а = Г urd 0 = 2 пт.
дг г 4 J
о
Как и в трехмерном случае, если замкнутая кривая L включает источники и
стоки напряжением ть т2,..., тп, расход на единицу длины составляет
84
Это - теорема Гаусса для расхода двухмерного потока.
Двухмерный диполь (рис. 25). Напомним, что потенциал для трехмерного
диполя был выведен из потенциала для источника
путем дифференцирования. Такой же результат получается при подобных
операциях в двухмерном случае:
фх = т lnr = т In (х2 + У2)4*-
Если произведение те принять равным напряжению б, то данное выражение
будет представлять уравнение для двухмерного диполя произвольной
ориентации. В обозначениях полярной и декартовой систем уравнение диполя
принимает следующие формы:
9-const •
/-L/
Рис. 25. Поле двухмерного диполя
Ф
б Q <,
- COS 0 = - б
ф = - sin 0 = б ---------------------------------.
Г Х2 + У2
(50)
Распределение особенностей. При использовании особенностей для
образования полей течений обычно необходимо распределять их по линиям,
поверхностям или зонам в пространстве.
Этот процесс относительно прост, так как уравнения, которые
удовлетворяются функциями потенциалов и токов, являются линейными; так,
функции потенциалов и токов при наложении течений представляют простые
суммы соответствующих величин для отдельных элементов. Для линейного
распределения источников имеем следующие соотношения:
а для линейного распределения диполей такие соотношения:
В этих уравнениях М' и А7 являются неразрывными функциями,
представляющими распределение трехмерных напряжений на единицу длины
вдоль контура L, уравнениями которого являются:
Для поверхностного распределения источников или диполей соответствующие
соотношения будут иметь следующий вид:
Здесь М" и А" - функции, представляющие напряжение на единицу площади на
поверхности S, уравнениями которой являются
ф (х, у, z) = - J dL\ ф (х, у, z) = - j' М' (a) cos Ф dL, (51)
L
L
(52)
L
L
х = х' (а); у = у' (а); 2 = г' (а)
и
/?=[(*- х'Г + (у- у')2 + (Z- z'Y] v\
(53)
(54)
5
5
х = х'(а, Р); у = у' (а, р); z - z' (а, |3), уравнение для R остается
прежним.
86
Уравнения для пространственных распределений могут быть записаны по
прямой аналогии с вышесказанным:
М'" (х', у', zr)
R
w
(55)
ф = ¦- J М'" (х', у', z') cos'd dW;
w
ф = _ j-, Ь-'У.У.г') cos, j, ш. V
^ _ j* A'" (*', y', z') sin21
R
w
dW.
(56)
Функции M"' и А'" представляют, конечно, напряжения на единицу объема.
При пространственном распределении источников М'" жидкость создается во
всех точках внутренней области с расходом, пропорциональным местной
плотности источника. Малый шар объемом bW вокруг точки (х', у', z')
содержит полное напряжение источника, равное М'" 6 W, и, следовательно, в
соответствии с теоремой Гаусса полный расход из этого шара составляет 4
яМ"' 61^. Приравнивая поток через единицу объема к дивергенции скорости,
находим
du.dv.dw .
----------1---= 4я М .
дх ду дг
Если теперь допустить потенциальность потока, получим уравнение Пуассона
V2 ф = 4я М'", (57)
специальным случаем которого, очевидно, является уравнение Лапласа. Если
М"' представляет данную функцию положения, частное решение уравнения (57)
дается непосредственно уравнениями (55). Полное решение уравнения
Пуассона в данном случае состоит в подстановке решения уравнения Лапласа
в частное решение таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия.
Поверхностное распределение особенностей имеет полезные свойства,
касающиеся неразрывности потенциала или скорости на двух сторонах
поверхности S. Когда какая-нибудь точка Р приближается к поверхности,
расстояние R до ближайшей точки на поверхности приближается к нулю, и,
следовательно, интегралы, содержащие некоторую степень R в своих
подынтегральных выражениях, становятся особыми. Для определения этих
