Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
напряжением стока или источника: расход через любую замкнутую
поверхность, окружающую точку возбуждения, составляет Q - = 4пМ. Это
может быть подтверждено вычислением расхода через поверхность шара
единичного радиуса с центром в точке возбуждения. Очевидно, при этом
расходе жидкость должна исчезать в точке возбуждения в случае стока или
возникать в этой точке в случае источника. Это требование, конечно,
нарушает принцип неразрывности и иллюстрирует несостоятельность многих
соотношений в особых точках. То, что точка возбуждения относится к особым
точкам, можно увидеть из данного ранее определения, поскольку ф и все ее
производные бесконечны при R = 0.
Если внутри замкнутой поверхности 5 содержится несколько источников и
стоков напряжением Ми М2, ..., Мп, тогда сложение расходов из каждого
источника дает
Рис. 22. Потенциал, созданный точечными источником и стоком одинакового
напряжения
80
Г и +1)АД +w JL] dS= Г - dS + 4it У Mt. (42)
J dn dn ^ dn ) J dn ^ 1 4 ;
s s r-1
Результат, показывающий, что поток жидкости через замкнутую поверхность
пропорционален общему напряжению источников, содержащихся внутри нее,
известен как теорема Гаусса.
Диполь. Если источник и сток одинакового напряжения помещены в
ненарушаемую иным способом жидкость бесконечной протяженности, тогда весь
расход из источника должен со временем возвратиться в сток. Если
расстояние е между ними уменьшать и в то же время соответственно
увеличивать их напряжение М (Ale = const = А), тогда в пределе при е = 0
получим диполь или пару. Заметив, что потенциалы функций тока для системы
нескольких потоков получаются простым сложением соответствующих величии
компонентов потоков, можно записать потенциал в любой точке Р (рис. 22)
как
ф = _м( J_____________М = - М ( R*-Ri)" - Ме с°1в_ = _ А с-0_1-1
Ui I R1R2 I RiR* R1R2
Когда е достигает нуля, тогда
ф = cos'd. (43)
Соответствующая функция тока может быть выведена обычным путем:
1 дф d<$__ 2Л cos О
R2 sin d dd dR R3
Тогда
'Ф = ~ sin2# + f(R),
H
где f(R) -произвольная функция, так как R является постоянной
интегрирования. Но
1 дф 1 дф Д . "
v =-------------• -- = - . -- = - sin #
R sin ft dR R dft R3
т. e.
1
R sin d dR
A
R
sin2# + /(/?)j = sin#,
что при упрощении дает df/dR = 0 и /(/?) =const. Так как добавка
постоянной несущественна, получаем
ф = sin2#. (44)
В этих уравнениях А - напряжение диполя, R - расстояние от диполя до
любой точки и # - угол между линией, соединяю-
81
щей диполь с данной точкой, и линией направления от стока к источнику.
Если направляющие косинусы последней линии I, т и п, тогда
" 1х + ту + пг cos ft = ^ а ^
R
и потенциал для диполя составляет
Ф = - (1х + ту -f пг).
Рис. 23. Поле осесимметричного диполя
Интересно заметить, что потенциал для диполя может быть выведен из
отрицательной производной потенциала для источника:
, М__________________М
- R ~~ (х*+ у*+ г2),/г '
ф'= -' (' it + т17 + "¦Т?) = -^(1х + ту + пг)-
Так как А!е = А, то очевидно, что функция ф2 идентична потенциалу, уже
выведенному для диполя. Эти операции умножения на постоянные величины
частного дифференцирования относительно декартовых координат и сложения
производятся, конечно, в соответствии с допустимыми операциями над
гармоническими потенциалами, установленными в п. 28.
82
Вихрь. Если в цилиндрических координатах
ф = kQ,
тогда компоненты скорости в любой точке
^ дф ^ 1 дф к
дг г 50 г
дф дг
(45)
w
= О
вызывают начало вихря. Уравнение для функции тока может быть найдено
интегрированием:
k С к
Г дг .) г
dr = - A In г.
(46)
Характер линий тока и эквипотенциалей показан на рис. 24. Поскольку как
радиальные, так и осевые компоненты скорости равны нулю, линии тока
должны быть концентрическими окружностями, причем скорость на каждой
окружности постоянна. Кроме того, так как скорость обратно
пропорциональна радиусу окружности, циркуляция Г одинакова на всех линиях
тока:
2и 2-г.
Г - (j) vds = | vrd 0 = J kd 0 = 2ak.
Циркуляция одинакова и на любой другой простой замкнутой траектории,
окружающей начальную точку, как видно из применения теоремы Стокса к
кольцеобразной зоне, ограниченной этой траекторией и малой окружностью у
начальной точки.
83
Когда п завихрений напряжением ku k%, ..., kn окружены траекторией, то,
применяя теорему Стокса к зоне, ограниченной этой траекторией и малыми
окружностями у каждого завихрения, видим, что циркуляция на траектории
составляет
П
Г=2лЕл4. (47)
1=1
То обстоятельство, что циркуляция даже вокруг одного вихря является
конечной, представляет очевидное нарушение одной из основных
характеристик безвихревого потока, развитых ранее, вызванное тем, что
линии тока окружают особую точку; в точке г - 0 скорость бесконечна, в то
время как все производные гармонического потенциала должны быть конечны.
Следует обратить особое внимание на то, что этот поток в отличие от
источника или диполя является по существу двухмерным, так что его можно
