Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 31

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 132 >> Следующая

рассматриваться для аналитических целей как линия потенциала, и,
следовательно, любой двухмерный поток с заданными границами может
рассматриваться как проблема Дирихле.
Второй граничной задачей потенциальной теории была проблема вычисления
потенциала, нормальные производные которого равны заданным значениям по
всей границе. Она известна как проблема Неймана; поток вокруг твердых тел
часто приводит к этому типу граничных условий, рассмотренных в п. 26.
Более общая проблема заданного потенциала по части тела
:77
и заданного нормального градиента по остальной границе встречается в
линеаризованной теории кавитации скользящих поверхностей гидроплана, для
которых как твердое тело, так и свободная поверхность тока существуют в
одной системе.
В четвертой группе задач граничные условия предстают в форме линейных
отношений между ф и дф/дп. Типичным примером их являются гравитационные
волны. В качестве первого приближения можно допустить, что свободная
поверхность находится в простом гармоничном движении с периодом 2я/со;
как показано в п. 34, граничное условие при этом составляет со2ф = =
?<Эф/дг/, что получило название задачи Коши.
Пример 7. Определить, является ли безвихревой система, описанная
следующей функцией тока:
" / R2 sin' О \
ф = Ua2 (--------- - cos d) .
Если да, то найти потенциал скорости, определить положение застойной
точки, если она существует, и вычислить величину застойного давления в
единицах плотности жидкости. Допустить, что силами притяжения можно
пренебречь и что давление стремится к нулю при больших величинах R.
Если потенциал существует, то он может быть найден путем интегрирования
выражений для компонентов скорости:
дф 1 дф
и =
v = -
dR tf2 sind dd 1 дф 1 дф
R dd .Rsind dR
После замены соответствующих производных получаются следующие результаты:
9&= J U (2 cos "+ ~ ) dR -ф f (d) = 2UR cos d -
-2UR sin ddd + f (R) = 2UR cos d + / (R).
Каждая из произвольных функций зависит от одного переменного: f(R) = f(
d)- U*
f(R)
R Ua2
R
f (d) = 0.
Тогда потенциал составляет
ф = UR 12 cos d -
Д2
Подстановка этой функции в уравнение Лапласа в сферических координатах
показывает, что она представляет безвихревую систему.
Для определения положения застойной точки каждый компонент скорости нужно
приравнять нулю:
и = U ( 2 cos d + - j =0; v=-2?/ sin d=0,
78
Единственным реальным решением этих уравнений будет: ft = я; R= -~zr •
V2
Максимальное давление может быть вычислено из уравнения Бернулли для
установившегося движения, на которое не действует сила тяжести:
V2 р / а2 с os ft \ а4
- +- =С; = "2 + "2 = 4(/2 1+-------- +t/2_-
2 р \ R2) R4,
Когда R велико, результирующая скорость равна 2U и застойное давление
составляет
р^о
р = ~ =2р[/2.
Б. Типичные виды течений
31. Основные функции потенциала и тока. Для лучшего представления
отношения между полем потока и уравнениями его функций потенциала и тока
исследуем несколько наиболее распространенных основных форм, используемых
на практике в различных сочетаниях для образования более сложных систем.
Равномерный поток. Самым простым потоком является равномерный; если L m и
п представляют направляющие косинусы любой прямой линии в пространстве,
тогда уравнение в декартовой системе координат для равномерного потока со
скоростью U в направлении этой линии имеет вид
ф - U {lx + ту + nz). (38)
Когда равномерный поток входит в систему, для которой предпочтительнее
цилиндрические или сферические координаты, наиболее удобно ориентировать
оси так, чтобы поток двигался в направлении оси г или нулевой оси.
Уравнения для функций потенциала и тока в цилиндрической и сферической
системах координат соответственно имеют вид:
ф - Uz\ ф = ~ Ur2] ф = UR cos ft; ф = - UR2 sin2'
(39)
Хотя основные соотношения теории безвихревого потока применимы только к
областям с гармоническим потенциалом, несколько наиболее интересных
приложений их основано на присутствии в потоке некоторых отдельных точек,
линий или поверхностей, в которых потенциал или возможно градиент имеет
бесконечные или прерывистые значения. Функции потенциала и тока для
наиболее распространенных полей потока, включающих
79
особые точки, должны быть изучены так, чтобы их можно было легко узнать.
Источник или сток. Потенциал
ф - - MjR (40)
представляет поток следующего характера в начале точечного источника
жидкости:
дф
Hr
a-ip
м
^2sin# д(r) R2
ф = J" М sin O'dO - - М cos Ф.
; v = 0 = W]
(41)
Скорость во всех точках направлена радиально наружу от начальной точки, а
величина ее в любой точке обратно пропорциональна квадрату радиального
расстояния до начальной точки. Линии тока в рассматриваемом случае
представляются семейством радиальных линий. Очевидно, что R постоянна,
если постоянна ф, так что эквипотенциальные поверхности образуют
концентрические сферы с центром в точке возбуждения источника.
При изменении знака ф (ф - = M/R) поток направляется радиально внутрь и
имеет характер стока. В том и другом случае постоянная М называется
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed