Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
вверх. С этими подстановками данное соотношение может быть записано в
форме общеизвестного уравнения Бернулли:
Если поток установившийся и гидростатическая нагрузка не изменяется со
временем, тогда произвольная функция должна быть постоянной и может быть
вычислена при известных величинах '/, р и 2 в любой точке данной системы.
Важность этого вывода очевидна, если учесть, что он не ограничивается
точками на линии тока, а устанавливает отношение между давлениями и
скоростями по высоте во всей области безвихревого потока. Простота
уравнения (31) является одним из основных достоинств идеи о безвихревом
потоке.
29. Важнейшие теоремы и уравнения. Высокая ценность потенциальной
теории заключается в изобилии теорем и заключений, выведенных в различных
областях на ее основе. Многие из
(30)
чг+^Т+ - + О = /(0.
dt 2 р
них являются производными от теоремы Гаусса, которая была представлена в
п. 18 в связи с уравнением неразрывности. Поскольку эта теорема может
быть использована для вывода целого ряда в высшей степени полезных
соотношений, она приводится и здесь:
f(-T- + -T- + -T-W= + (32)
J \ дх ду dz I J 1 дп дп дп j
W S
Следует напомнить, что единственными ограничениями, налагаемыми на
функции Р, Q и R, является то, что они и их пространственные производные
должны быть неразрывны во всем объеме W. Три функции, которые
удовлетворяют этим требованиям и которые приводят к важным соотношениям,
могут быть определены следующим образом:
дх ду дг
Их производные, которые также должны быть неразрывны, составляют:
ЭР _ I _М . = 4-
дх дх2 дх дх ' ду ду2
. дф_ Рф dR г Р2ф . дф Рф
ду ду ' дг дгг дг дг
При соответствующих подстановках в уравнение (32) на эту теорему часто
ссылаются как на первое тождество Грина:
Рф , дф а-ф , дф Рф ^ =
дх ду ду dz dz
w w
dS. (33)
dn v '
Символ v2 здесь имеет то же значение, что и в уравнении
(29), а нормальная производная дф/dn составляет, конечно,
аф Рф дх ^ Рф ду Рф дг
дп дх дп ду дп дг дп
Если поменять местами функции ф и ф и получившееся выражение вычесть из
уравнения (33), найдем результат, который известен как второе тождество
Грина:
J ф у2ф dW - J ф у2 tf>dW = | [ф - - ф j dS. (34)
w w s
6-1459
73
Наконец, если фиф ограничены как гармонические функции, результатом будет
третье соотношение, известное под названием обратной теоремы Грина:
Пример способа использования этих уравнений находим при рассмотрении
кинетической энергии К несжимаемой жидкости, движущейся потенциально в
области объема W и поверхности 5:
Если предположить, что функции фиф идентичны и равны потенциалу скорости,
тогда первый интеграл уравнения (33) сводится к нулю, так как ф
гармоническая функция, интегрирование второго интеграла дает квадрат
скорости У, а в результате получаем выражение, известное как теорема
энергии:
Это уравнение применяется только к однозначным потенциалам.
Перпендикулярное расстояние п измеряется в наружном направлении.
Если рассматриваемая жидкость лежит за поверхностью S, потенциал ее равен
нулю в бесконечности, а скорость исчезает в бесконечности по крайней мере
с быстротой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, тогда
кинетическая энергия этой жидкости может быть найдена путем допущения,
что на некотором расстоянии от поверхности 5 существует большая
поверхность 2, где скорость пренебрежимо мала. Объем, к которому
применимо уравнение (33), лежит между поверхностями S и 2, а
перпендикуляр, вдоль которого измеряется расстояние, как обычно направлен
наружу от объема или внутрь области, ограниченной поверхностью 5. Таким
образом, кинетическая энергия жидкости, лежащей за поверхностью 5,
представлена также уравнением (36). Если положительное значение
перпендикуляра выбрано при направлении его наружу от поверхности S,
необходимо изменить знак выражения для К в уравнении (36).
С помощью теоремы энергии может быть доказано несколько дополнительных
соотношений, известных под названием уникальных теорем. Следует иметь в
виду, что эти теоремы, так же как и теорема энергии, на которой они
основаны, применяются только в случаях, когда потенциал скорости
одновременно гармоничен и однозначен. Это исключает, например, вихревые
системы, рассмотренные в следующем разделе. Приведем ряд уникальных
теорем.
(35)
W
(36)
74
1. Безвихревое движение невозможно в односвязной области, ограниченной
неподвижными стенками. Доказательство: во всех точках на границе дф1дп =
0, следовательно, кинетическая энергия равна нулю или система находится в
покое.
2. Если границы характеризуются заданными скоростями, то безвихревое
движение внутри них имеет единственно возможную форму. Доказательство:
если два потенциала ф\ и ф2 относятся к данному полю, тогда их разность
гармонична. Однако в каждой точке на границе дф\!дп - дф2!дп. В таком
случае
дф! дф* _ д (ф1 - фг) _ q
дп дп дп '
т. е. разница между фг и ф2 составляет постоянную величину Добавление
постоянной к потенциалу не изменяет градиентов, так что ф\ и ф2
