Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
(udx + vdy 4- wdz) - фр- фр = 0.
69
Таким образом, циркуляция в односвязной области безвихревого потока
всегда равна нулю.
Если допустить, что жидкость несжимаема, тогда подстановка компонентов
скорости из уравнений (28) в уравнение неразрывности приводит к
равенству, которое обычно называют уравнением Лапласа. Для обозначения
действий, представленных уравнением Лапласа, удобно использовать символ
V2. который принимает следующий вид соответственно в декартовой,
цилиндрической и сферической системах координат:
Решения уравнения Лапласа известны как гармонические функции; любое
решение, очевидно, представляет потенциал потока. Если потенциал
гармоничен всюду, кроме некоторых точек, последние называются особыми
точками.
Изменяя порядок дифференцирования в случае производной третьего порядка,
можно показать, что если функция гармонична в данной точке, тогда все ее
производные относительно декартовой системы координат также гармоничны в
этой точке. Например, рассмотрим производную дф/дх, когда ф гармонична.
Подставляя эту производную в левую часть уравнения Лапласа, получим
Следовательно, все частные производные также являются гармоническими.
Существует несколько функций, которые легко проявляют свою гармоничность:
1, х, yz, х2 - у2 и 1 /R. Кроме того, если ф\ и ф2 гармонические функции,
тогда гармоническими являются также Сф\, ф\ + ф2 и С+ф[, где С -
постоянная. В дополнение к этим функциям могут быть найдены подобные им
путем решения уравнения Лапласа в любой из его разнообразных форм с
использованием методов дифференциальных уравнений в частных производных.
Поскольку все гармонические функции неразрывны, в пространстве могут быть
проведены поверхности равного потенциа-
I йгф
= 0.
70
ла. Если какая-нибудь линия является касательной к одной из этих
поверхностей, тогда компонент градиента вдоль этой линии должен равняться
нулю в точке касания; вектор градента и, следовательно, скорость должны
быть нормальны ко всем эквипотенциальным поверхностям. Таким образом,
очевидно, что эквипотенциальные поверхности образуют в пространстве
ортогональную систему с поверхностями тока, которые всюду каса-тельны к
скорости. Это предполагает возможность выведения математического
выражения для функции тока в области, где форма потенциальной функции
может быть определена другим путем. Как будет показано далее, это
соответствует действительности, и многие способы изучения безвихревого
потока основаны на использовании функций тока, установленных с помощью
соответствующих потенциалов.
Интересно отметить, что в случае двухмерного безвихревого потока функция
тока также удовлетворяет уравнению Лапласа; это легко можно доказать,
составляя из компонентов скорости по уравнениям (12) единственное
выражение для двухмерного безвихревого потока:
да д / дгр \ dv д / \
ду ду \ ду / ' дх дх ' дх J '
ди dv _q 32ф ^ д2г|з
ду дх дх2 ду2
Последнее равенство непосредственно говорит о том, что двухмерный
гармонический потенциал также выражает функцию тока для аналогичного
потока; эта мысль будет изучена более полно в следующей главе.
Подобное же уравнение может быть выведено для функции тока безвихревого
аксиально симметричного потока. В случае, если поперечный компонент
скорости равен нулю, кинематические соотношения могут быть объединены в
форме функции тока Стокса, данной в п. 20, следующим образом:
1 di|> п 1 Зф
и = . --- ; v = 0; w = - . ;
г дг г дг
r I dw ди \ q _ <32я|) ________ 1 Зг|з , <Э2гр
дг дг I дг2 г дг Зг2
Сравнение со вторым уравнением из системы (29) показывает, что в
осесимметричном безвихревом потоке уравнение Лапласа не удовлетворяется
функцией тока, разница имеет отрицательный знак у членов первого порядка.
Как уже было указано в главе II, уравнения Эйлера для безвихревого потока
могут быть легко проинтегрированы. Например, первое уравнение из системы
(23) может быть преобразовано путем введения следующих определяющих
уравнений потенциальной теории:
71
Нет необходимости допускать, что любая частная форма уравнения
неразрывности приемлема для этих уравнений, так как потенциал ф не
обязательно будет гармоничным. Если предположить, что потенциал массовых
сил Q такой же, как в предыдущей главе, тогда преобразованное уравнение
принимает вид:
С учетом подобных уравнений для других направлений окончательное
интегрирование приводит к следующему выражению:
Если на жидкость накладывается дополнительное ограничение несжимаемости,
уравнение (30) несколько изменяется:
Из пп. 24 и 26 видно, что это уравнение также пригодно для движущейся
системы координат, если V2 заменить на V'2.
Поскольку скорость в любом случае зависит только от пространственного
градиента ф, взаимосвязь между скоростью и давлением не меняется, если в
потенциальную функцию включается произвольная функция времени.
Единственной важной массовой силой, действующей на поток, обычно является
сила тяжести, так что Q = g2, где значение 2 положительно при направлении
