Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку, как показано в главе II, завихрения пропорциональны вращению,
потенциальность эквивалентна нулевому завихрению. Так как вектор исчезает
только в случае, если каждый компонент его равен нулю, основное условие
потенциальности может быть описано математически путем приравнивания нулю
каждого компонента вектора вихря. В результате получим:
dw fti f ди dw dv ди ,n7\
dy dz ' dz dx ' dx dy
Эти уравнения необходимы и достаточны для установления безвихревого
потока, так как все другие характеристики этого движения могут быть
выведены из них.
Потенциальная теория получила свое название по скалярной функции или
потенциалу ф(х, у, z, t), который служит для полного описания
определенного ряда условий в пространствен времени. Хотя потенциал
является скалярной величиной, векторная функция, называемая его
градиентом, может быть выведена из потенциала путем частного
дифференцирования. При любой системе координат компонент градиента в
любом направлении равен скорости изменения потенциала в этом направлении.
Если положительный градиент потенциала ф представляется как скорость
потока, тогда ее выражения в прямоугольной, цилиндрической и сферической
системах координат имеют следующий вид:
Система и V W
Прямоугольная дф dx дф ду дф дг
Цилиндрическая дф ~д7 дф гдв дф дг
Сферическая дф дф дф
dR ЧдЪ R sin 0<Эф
5*
67
Из этих наглядных уравнений видно, что установление потенциальности
уравнениями (27) эквивалентно допущению математического существования
потенциала. Так как величина сложной частной производной второго порядка
зависит от пути дифференцирования, первое из уравнений (27) выглядит
тождеством, если допустимо существование потенциала:
Подобные отношения существуют и между двумя остальными уравнениями.
Хотя гидродинамический потенциал определен в форме скорости, потенциалы
являются в основном абстрактными математическими величинами и,
следовательно, не имеют внутреннего физического смысла. Наиболее простые
и полезные из остальных интерпретаций показаны на следующих примерах.
а. Функция ф может быть представлена как постоянный электрический
потенциал Е в любой точке однородного проводника проводимостью k.
Отрицательный градиент здесь пропорционален потоку электрических зарядов:
В этом случае потенциал является измеряемой величиной,
б. Если функция ф представлена как постоянное распределение
температуры 0 в однородном термическом проводнике с теплопроводностью k,
тогда отрицательный градиент пропорционален вектору Н, олицетворяющему
направленный тепловой поток:
Как и в предыдущем случае, потенциал представляет величину, которая может
быть непосредственно измерена.
в. Градиент может быть пропорционален также вектору, представляющему
собой отнесенную к единице массы силу F, действующую на какую-то точку в
пространстве. Здесь ф есть работа, затраченная на перенесение единицы
массы некоторой субстанции из бесконечности в данную точку и
увеличивающая таким образом его потенциальную энергию. В этом случае
потенциал Q (введенный в п. 26) не может быть измерен непосредственно, но
его форма может быть установлена по измерениям сил, оказывающих давление
на вещество в данном поле (необходимо од-
68
но интегрирование), или по измерениям скорости или положения вещества, на
которое действует поле:
ds
Гравитационная постоянная G считается независимой от любого известного
влияния.
г. Для анализа задач, рассматривающих ламинарный поток через зернистую
среду при условии, что сечение в целом больше площади поперечных сечений
самих зерен, удобно определять скорость как расход на единицу площади.
Тогда в качестве потенциала может быть принят пьезометрический напор, и
закон Дарси гласит, что скорость пропорциональна отрицательному
градиенту:
ds
Постоянная k называется проницаемостью среды, a s, как обычно, обозначает
расстояние в направлении линии тока.
Свойства, характеризующие безвихревой поток, могут быть выведены из
основного определения простой заменой уравнений (27) или (28) на
соответствующие уравнения из главы II. Примером может служить следующий
дифференциал:
ёф = dx 4- dy + dz. дх ду дг
Ввиду того, что этот дифференциал является точным, его непосредственное
интегрирование может дать разность потенциалов между любыми двумя точками
Л и Я:
А
Эта разность не зависит от выбранной траектории, если функция ф,
получающаяся при интегрировании, однозначна. Такой случай имеет место,
когда область, в которой поток потенциален, односвязна, т. е. так
сформирована, что все траектории, соединяющие любые две точки ее,
совпадают при непрерывной деформации, не покидая ее пределов (например,
внутренняя область шара односвязна, а внутренняя область тора не
односвязна). Если подставить вместо градиента скорость в соответствии с
определениями уравнений (28) и сделать так, чтобы точка Р совпала с
точкой А после завершения замкнутого пути, получающийся интеграл будет
выражать ту самую циркуляцию, которая была определена в главе II:
