Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
JC, ' du . , dv . ¦ dw .
W '
+v (w + v)+'"{it'+ f-) ¦+- (? +1)] ¦• (26>
Следует подчеркнуть ту особенность этого уравнения, что в него входят
скалярные, а не векторные величины. Конвективный член, как и в уравнении
количества движения, превращен в выражение чистого притока изучаемой
субстанции - в данном случае кинетической энергии - из рассматриваемой
области. Члены, выражающие напряжения, также сгруппированы в
поверхностный интеграл, который представляет здесь общий запас энергии,
за счет которой совершается работа в рассматриваемой области внешними
напряжениями - частью на изменения кинетической и потенциальной энергии
жидкости и частью на совершение неэластичных деформаций. Сопротивление
последнему действию входит в состав конечного объемного интеграла,
который является мерой интенсивности диссипации механической энергии, т.
е. мерой интенсивности ее преобразования в тепло.
Пример 6. Масло вытекает из бака по горизонтальной трубе диаметром D с
расходом Q под напором Н. Поток - безвихревой при входе в трубу, при
выходе из нее характеризуется параболической эпюрой скоростей. Сравнить
силы, затрачиваемые на перестройку эпюры скоростей, с силами,
необходимыми для преодоления трения на стенках трубы.
Соответствующие члены уравнения (25) составляют
р J и2 dA - р и2 dA = J pdA + j* xdS.
J^2
Отсюда во втором сечении, где и=нмакс(1-4л2//)2),
D/2
р j dA = 2яр4акс j (1 - 4г*/D*)* rdr = -j~ и* .kc ^=1,33 .
a2 0
В первом сечении p^u2dA = pQ2/(nD2/4). На основании уравнения энергии,
кроме того, можно допустить с достаточным приближением, что уН=р1 +
ри\/2. Величина IitdS, представляющая полный сдвиг на стенках,
определяется
с помощью вычисления других величин и затем сравнивается с
0,33pQ2/(яП2/4)-силой, затрачиваемой на перестройку эпюры скоростей.
5-1459
Глава III
ПРИНЦИПЫ БЕЗВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ
А. Основы потенциальной теории
28. Характеристики потенциальных полей. Во многих случаях движения
жидкости форма линий тока в большой степени соответствует форме линий
поля в геометрически подобных системах, рассматриваемых в разделе
математики, известном под названием потенциальной теории. Когда это
соответствие является достаточно точным, аналитическая техника
потенциальной теории может быть использована для значительного облегчения
изучения этого движения; на этой связи построена структура классической
гидродинамики. Так как одним из основных требований потенциальной теории
является равенство нулю величины, соответствующей вращению, то движение,
удовлетворяющее этому требованию, обычно называется безвихревым.
Примерами потоков, в которых допущение потенциальности оказывается
особенно полезным, являются течения, взаимодействующие с насадками,
водосливами, затворами шлюзов и закруглениями трубопроводов со сжатием, а
также случаи обтекания предметов, движущихся относительно потока
жидкости. Замечательно, что все эти системы имеют две общие
характеристики: 1) движение жидкости, начинающееся из состояния покоя или
от малой скорости, так быстро ускоряется, что завихрения неощутимы, 2)
число Рейнольдса обычно настолько велико, что влиянием вязкости можно
пренебречь. Таким образом, потенциальность обычно связывают с отсутствием
вязкости, хотя, как будет показано далее, это необязательное требование.
Однако даже при благоприятных условиях поток, связанный с твердыми
границами, не может оставаться безвихревым в непосредственной близости от
границы. Несмотря на допустимость пренебрежения вязкостью в основном поле
потока, сдвиг между жидкостью и твердым телом вдоль их контактной
поверхности невозможен. Следовательно, в пограничной зоне будут
образовываться завихрения, воздействие которых на слой жидкости вызовет в
зависимости от геометрии и числа Рейнольдса потока незначительное
возмущение или сильное волнение, распространяющееся до тех пор, пока оно
не охватит всего потока. В первом случае допущение потенциальности потока
приводит к положительным результатам всюду, кроме пограничной зоны, а в
последнем поток может быть проанализирован в соответствии с методами,
изложенными в главе VII.
Наряду с приложением к проблемам, связанным с твердыми границами,
потенциальная теория может быть использована так-
66
же для изучения систем со свободными поверхностями или поверхностями
постоянного давления, таких, как гравитационные волны, струи свободного
очертания и кавитационные потоки. Подобно вышеуказанным случаям эти
системы отличаются начальным отсутствием завихрений и пренебрежимым
влиянием вязкости. Как это ни парадоксально, потенциальная теория
чрезвычайно полезна для анализа фильтрации жидкости через проницаемую
среду при условии, что действие вязкости преобладает, т. е. что поток
ламинарен. Но вообще следует быть осторожным при обосновании допустимости
потенциальности для той или иной частной системы. Даже из этого неполного
перечня полезных применений очевидно, что понятие безвихревого потока
играет важную роль в механике жидкости.
