Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
времени и обусловли-
t д
vl - ur\ =---------------------
дг
61
вающего его импульса, также отнесенного к единице времени:
Подынтегральное выражение в левой части может быть переписано в следующем
виде:
Отрицательные члены в силу уравнения неразрывности очевидно могут быть
опущены. Интеграл от первой частной производной может быть записан как
полная производная от объемного интеграла. Объемный интеграл от
остающихся членов количества движения, равным образом интегралы от членов
напряжения могут быть преобразованы в поверхностные интегралы по формуле
Гаусса, введенной при выводе уравнения неразрывности. Проделав все это,
получим выражение для соотношения между количеством движения и импульсом
действующей силы:
-L j9MW+ +
Рассмотрим некоторые особенности этого соотношения. Во-первых, это
выражение относится только к одному координатному направлению; иными
словами, количество движения является векторной величиной и его общее
изменение представляется векторной суммой их трех компонентов. Во-вторых,
полное изменение количества движения, обусловливаемое конвекцией,
включенное в поверхностный интеграл в левой части, представляет чистый
перенос количества движения потоком из области, первоначально занимаемой
жидкостью в рассматриваемом объеме. В-третьих, суммарный импульс,
обусловливаемый нормальными и касательными напряжениями, поддается
выражению исключительно через напряжения, возникающие на внешней
поверхности области, - внутренние напряжения на соседних элементах
взаимно уничтожаются.
dW= Г рXdW- Г dW+
J * дх
д(ри) , д (рьа) , д (puv) d(puw) и J)p_ и д (ри)
dt дх ду дг dt дх
и d(pv) цд(рш) ду дг
w
62
f
Для получения сопоставимого соотношения в членах работы и энергии,
представляющих скалярные величины, необходимо сначала умножить каждое
уравнение движения на плотность и на соответствующий компонент скорости,
а затем все три сложить. (Для простоты величина - р + а' заменяется на
о.) После выражения суммы квадратов компонентов скорости через квадрат
векторной величины интегрирование по рассматриваемому объему движущейся
жидкости приводит к следующему уравнению:
р /ЗУ2 . dV2 , dV2 , dV2\,w/ С , v. " . ,
" Кг + "+ v-г + w - )dW= p(uX+ vY -f wZ)dW +
2 \ dt dx dy dz j ,J
w w
_i_ Г \u (^- -f dXyx 4- dx?x) v I dTxy 4- 4- dXzy
I I I dy dz) [ dx dy dz
w
\ dx dy dz Ij
Первый интеграл представляет, очевидно, скорость изменения кинетической
энергии
Dt J 2
№
Объемные силы могут быть выражены подобным же образом, если принять, что
они составляют потенциал Q и что эта величина не изменяется со временем,
т. е. dQ/dt = 0; таким образом, поскольку масса рdW движущегося элемента
остается постоянной, скорость изменения потенциальной энергии выражается
как
р (иХ +vY+wZ)dW= р (и, ~ + V-- 4- w -g-j dW= w w
w w
Введение этих членов в предыдущее уравнение дает D С {рУ2 Dt
д&х I d'tyx , дх
г
dx dy dz
I у / dXxy -j- д(Уу 4- dXzy) 4-w (dXzx 4- dXzy 4- d°z
dx dy dz ) \ dx dy dz
+
dW.
Это уравнение представляет собой принцип сохранения механической энергии,
поскольку оно выражает скорость, с которой изменяется энергия
рассматриваемого объема жидкости, выполняя определенную работу,
соответствующую этому изменению энергии.
63
Здесь следует отметить, что работа, необходимая для изменения
механической энергии жидкости, необязательно представляет изменение
полного запаса энергии, за счет которого производится работа нормальными
и касательными напряжениями. Выражение для изменения полного запаса
энергии получается умножением каждого напряжения на шести гранях
элемента, изображенного на рис. 19, на соответствующий компонент скорости
(учитывая изменения скорости с изменением интенсивности напряжения при
изменении расстояния от центра тяжести) и сложением этих произведений с
учетом их знаков. Скорость изменения полного запаса энергии, отнесенного
к единице объема, представится любым из следующих выражений:
Работа, совершаемая внутри жидкости, состоит из двух частей: одна из них
затрачивается на изменение энергии жидкости, вторая требуется для
выполнения линейных и угловых деформаций элементов жидкости. Первая,
очевидно, является частью консервативной системы. Часть второй также
может рассматриваться как консервативная, если работа давления р = о'-а
при эластичном сжатии представляет вид потенциальной энергии. Из теории
эластичности имеем:
где Е - энергия эластичности, отнесенная к единице массы.
Остающиеся члены в уравнении энергии, выражающие работу, затрачиваемую на
деформацию жидкости, могут рассматриваться как диссипативные:
Если эти произвольно записанные количества ввести в начальное уравнение
работа - энергия и преобразовать соответствующие объемные интегралы в
поверхностные, то получим основное уравнение для работы - энергии
(иах + vxxy + wtxz)+ (ихух + vay + wxyz) +
+ оха + ayb + ozc + xyzf + xzx g + xxyh.
fdx du
(iuax + vxxy + wxx2) - -\-{uxyx + vay + wxyz) +
s
64
+ (tirzx + vxz + waz)
dn
