Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 24

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 132 >> Следующая

впервые были выведены эти уравнения около 200 лет назад Эйлером
(касательные и нормальные напряжения, сопровождающие деформацию, не
учитываются):
ди , ди . ди ди v 1 до
\-и v \-w - X -- ;
dt дх ду дг р дх
до . до , до . до 1 др
и и 1- v b w - = У -
dt дх ду дг р ду
dw , dw . dw , dw v I dp h u \-v----------------------------------------
- 4~w-----------=Z--------------------¦
dt дх ду дг p дг
(23)
Здесь полезно отметить доказательство Кельвиным теоремы Гельмгольца о
постоянстве завихрений в условиях нулевого напряжения, обусловленного
деформацией. Предположим, что линия, протянутая от А к Р, движется со
скоростью жидкости в каждой точке. Если бх, ду и дг являются проекциями
элемента этой линии, тогда для каждой из них могут быть записаны
соотношения следующего вида:
D(ubx) = Ри д Р(6х)
Dt Dt Dt
59
Полная производная слева обозначает скорость, при которой поток вдоль
линии увеличивается. Полная производная Du/Dt справа соответствует левой
части системы уравнений (23). Наконец, D(dx)/Dt представляет скорость ди,
при которой концы элемента расходятся, т. е. линейную деформацию. При
подстановке соответственных величин, добавлении трех уравнений и
допущении, что X, У и Z могут быть выведены из потенциала Q
(потенциальная энергия на единицу массы), получим
(ид х -j- vdy + wdz) = - Q - -f- иди vdv + wdw.
Dt p
При уел овии, что р зависит только от р, можно проинтегрировать это
выражение от А до Р:
Очевидн о, скорость, при которой линейный интеграл в левой части увели
чивается по мере того, как линия увлекается жидкостью, будет зависеть от
разности числовых величин внутри скобок между двумя конечными точками.
Если, следуя по замкнутой кривой, точка Р совпадает с точкой А, эта
разность будет равняться нулю , что дает
Иными с ловами, циркуляция вокруг любой замкнутой кривой, движущейся с
жидкостью, при данных условиях всегда будет оставаться оди наковой.
Отсюда следует, что при отсутствии напряжений, обусловленных деформацией,
завихрение любого элемента жидкости не может изменяться со временем.
Если при тех же условиях первое из уравнений Эйлера написать в
обозначениях натуральной системы координат (или если оси декартов ой
системы расположить так, чтобы ось х соответствовала направлению движения
s), тогда и будет представлять величину век тора скорости и уравнение
будет сведено к следующему виду:
Таким образом, сумма В членов в скобках будет изменяться по длине лю бой
линии тока только в случае, если сама скорость изменяется с о временем.
Если скорость не зависит от времени, а плотность яв ляется функцией
только давления, то
р
i j (uix + viy + Ыг, = [- Q - j ^ + ¦?]' .
А
О
Dt
(j) (идх -f- vdy + ioSz) = 0.
(24)
60
Даже в случае установившегося течения эта сумма из трех членов должна
рассматриваться как функция времени, поскольку по существу только
скорость не зависит от времени, т. е. общее давление на систему течения
будет все же изменяться от момента к моменту (как в водопроводном туннеле
переменного давления), хотя это изменение и не будет влиять на общую
картину движения. Предыдущее соотношение, называемое уравнением Даниила
Бернулли, в действительности впервые было выведено Эйлером.
Уравнения Эйлера, записанные через компоненты вихря и величину вектора
скорости, имеют вид:
Ввиду симметричности входящих в эти уравнения компонентов вихря и
скорости ранее обоснованная возможность интегрирования их вдоль линий
тока остается справедливой и для вихревых линий. Иными словами, уравнение
Бернулли применимо ко всем точкам поверхности тока, составленной из двух
пересекающихся семейств линий тока и вихревых линий. Однако в общем
случае уравнение (24) применимо только тогда, когда все левые части
вышеприведенных уравнений равны нулю. Это условие выполняется, если
вихревые линии и линии тока совпадают - явление, известное под названием
течения Белтрами-Громека, которое, по-видимому, реализуется только при
неустановившемся течении. С другой стороны, как показал сам Эйлер, если
имеем потенциальное течение, то все компоненты вихря равны нулю, что
также обусловливает исчезновение левых частей уравнений. Таким образом,
уравнение Бернулли применимо преимущественно к безвихревому потоку,
подробное рассмотрение которого можно найти в следующей главе. Из
выражения, данного в п. 24 для ускорения относительно подвижных
координат, видно, что уравнение (24) также применимо в случае, если V2
заменяется У'2.
27. Уравнения количества движения и энергии. Если каждый член в одном
из уравнений движения умножить на плотность, то в левой части уравнения
получится изменение количества движения на единицу объема и в единицу
времени, а в правой части уравнения - соответствующий импульс на единицу
объема и единицу времени. Если переменные члены проинтегрировать затем по
объему W принятой к рассмотрению движущейся жидкости, то в результате
получим уравнение изменения количества движения жидкости в единицу
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed