Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
описываются гораздо проще. Следовательно, натуральная система координат
пожалуй предпочтительнее для установления соотношений линии тока, чем
линии траектории. Если предположить, что оси закреплены в определенной
точке наблюдения, предыдущие выражения несколько усложняются: du ,
d(V2/2) . _ dv , F.
В обозначениях полярно-цилиндрической системы компоненты приобретают вид:
аа =
ди
~дГ
dv
~дГ
ди
дг
ди
где
dv
+ ДО
ди
дг
I dv
+ и V
дг где
v' г
UV
dw
dt
-j- и
dw
~дГ
V
I dv .
+ W - +
дг т
dw
. dw
4- до .
где дг
Наконец, в обозначениях полярно-сферической системы они составляют:
а
R
ди
~ dt ду dt dw dt
U
ди
ди ,
¦ V --------;---------j- ДО
ди
Rdb
да , dv
U Ь V----------------
dR ЯдЪ
до
dw dw
-I- и, -j- v -- 4- до
dR ЯдЬ R sin
R s in &d<p R
dv _^uv - шЛ ctg & Я sin &dq> dw
wu + vw ctg &
Если система координат обладает скоростью перемещения с компонентами U,
V, W и угловой скоростью с компонентами р, q, г, можно показать, что
компонент абсолютного ускорения по оси х имеет вид
ди , v , 1 dV'2
2 дх '
ах = + W, Г) - v Г1 ¦
dt
где V'2 = (и-U)2 + (ц-У)2+ (до-W)2 + 2[u(yr-zq) +v(zp-xr) + + w(xq-yp)]\
и, v и до - компоненты абсолютной скорости жидкости; ur, vr, wr -
компоненты скорости жидкости относительно движущейся системы координат,
т. е. u=U+ur+zq-у г.
////,,
3
Пример 5. Распределение скорости внутри жидкости, находящейся между двумя
коаксиальными цилиндрами радиусом Г\ и т2, движущимися с угловыми
скоростями Qi и &2, имеет вид
V(r)-
rt-
--[(Q
2 r2 -
<T7
- flj Г]) т - r\r\ ( Й2- (r)l)/r] •
Определить завихренность в каждой точке. При каких условиях завихренность
будет равна нулю?
В двухмерном полярном обозначении циркуляция вокруг элемента со сторонами
rdQ и (г+6г)60 составляет
1 dv . \
Отсюда единственный компонент вихря для такого потока будет равен
6Г dv v
Hm - -- +- = ?.
Srr60-*-O OrrQv ОТ Г
Из заданного распределения скорости находим, что
Ь?.-> /V)
? - 2 '
}-2 г2 г\
При условии, что ?=0,
2 2 г2~ 'I
2 г. -2 . ~ Г •
22г2 - П1Н - С -
2я
Нулевое завихрение, очевидно, соответствует постоянной циркуляции или
тангенциальной скорости, которая обратно пропорциональна радиусу.
Г. Динамика потока
25. Силы, действующие на элемент жидкости. Поскольку компоненты
ускорения элемента жидкости выражаются через компоненты действующей силы,
отнесенной к единице массы элемента, то в первую очередь необходимо дать
ее определение. Существуют три вида силы, которые нужно учитывать:
нормальные напряжения, касательные напряжения, вызываемые жидкостью,
находящейся в контакте с рассматриваемым элементом, и так называемые
массовые силы (в отличие от предыдущих поверхностных сил), такие, как
сила тяжести. В обозначениях декартовой системы координат три компонента
массовой силы на единицу массы могут быть записаны просто как X, Y и Z.
Однако нормальные и касательные напряжения требуют дальнейшего
обсуждения.
С этой целью выделен элемент жидкости в форме прямоугольного
параллелепипеда (рис. 19) с размерами ребер bx, by и Ьг. Интенсивности
нормального напряжения, существующего в центре элемента, в трех
координатных направлениях обозначены как ох, ау и аг, причем
положительные величины указывают на растяжение. Так как касательные
напряжения могут действовать в двух прямолинейных направлениях в каждой
из трех ортогональных плоскостей, в центре параллелепипеда должны
различаться шесть их интенсивностей: хху> хух, xyz, xzy, xzx и xxz. Здесь
первый индекс указывает направление нормали к плоскости действия, а
второй - направление действия; для согласованности с принципом
уравновешенности действия и противодействия они принимаются
положительными, если направления внешней нормали и действия оба
положительны или оба отрицательны, и отрицательными, если одно из
направлений отрицательно, а другое положительно. Теперь с помощью обычных
математических действий три интенсивности напряжения в центре каждой из
шести граней элемента можно выразить в первом приближении (для трех
граней приведены на рисунке).
55
К счастью, как видно из последующих действий, шесть интенсивностей
касательного напряжения могут быть сокращены до трех. Если взять моменты
напряжений, ведущих к ускорению элемента под углом относительно
проходящей через центр элемента оси, нормальной к плоскости ху, можно
увидеть, что
(хху дудг) дх - (хух дхдг) ду = ^(Угл, мом> .
Если стороны элемента уменьшаются, то тот факт, что угловое количество
движения элемента включает не только его плотность и объем, но также
квадрат радиуса вращательного движения, приводит к тому, что член правой
части уравнения достигает нуля быстрее, чем два члена левой части.
Следовательно, в пределе эти интенсивности сдвига становятся
эквивалентными, как и соответствующие пары напряжений в других двух
плоскостях. Поэтому
Хху - Хух'< Хуг ~ хгу\
Хгх = XxZ.
С другой стороны, следует полагать, что нормальное напряжение зависит
частично от давления р, введенного в уравнение состоя-
