Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
форму замкну-
того кольца) может кончаться только у границы; следовательно, если
жидкость несжимаема, расход должен быть одинаковым в любом поперечном
сечении; иными словами, площадь поперечного сечения должна изменяться
обратно пропорционально изменениям местной скорости потока. То, что
вихревая трубка имеет по существу такие же свойства, видно из рис. 18.
Если допустить, что замкнутая кривая, показанная справа, нарисована на
стенке соседней вихревой трубки, то из определения последней очевидно,
что правая часть уравнения (18) должна равняться нулю. Так как
составляющие циркуляции по смежным продольным частям кривой взаимно
уничтожаются, следовательно циркуляция вокруг двух последовательных
поперечных сечений трубки (представленных оставшимися частями кривой)
должна быть идентичной. Если, как теперь очевидно, мгновенная циркуляция
не может изменяться от сечения к сечению, то не только должны быть
обратно пропорциональны завихрение и площадь поперечного сечения вихревой
трубки, но и сама трубка может начинаться и кончаться лишь на границе, за
исключением такого случая, как кольцо дыма, где трубка вообще не имеет
конца.
dx ду dz
Б ч ~ С
(20)
Рис. 18. Сравнение трубки тока с вихревой трубкой
/ - линия тока; 2 - вихревая линия
51
До сих пор на распределение скорости не накладывалось никаких ограничений
(кроме необходимости удовлетворения уравг нения неразрывности),
распределение завихрений обладает той же степенью свободы. Справедливо,
следовательно, предположить, что как скорость может изменяться непрерывно
(или даже прерывисто) в потоке, так и завихренность подчинена непрерывным
(или прерывистым) изменениям по всей области, занятой потоком. Иногда
наоборот поступательное движение жидкости ограничено, во всяком случае
местами, до относительно узкого потока; аналогично одна вихревая нить
(подобно ядру смерча) может олицетворять единственную часть потока,
которая заметно вращается. Так как завихренность выражается через градиещ
ты скорости, любое внезапное изменение в распределении скорости вызывает
сгущение завихренности. Так называемые вихревые прослойки образуются в
зонах разрыва скоростей, т. е. при взаимодействии потоков с разными
скоростями. То, что возникает случайно при существовании таких условий,
зависит, конечно, от характера напряжения, соответствующего характеру
деформации, и будет рассматриваться в последующих главах этой книги. В
настоящий момент просто обращается внимание на очень важное
доказательство Гельмгольца (который также указывал на возможность
отсутствия конца у вихревой трубки), что действие завихренности системы
жидкости может измениться только если деформации, сопровождающей поток,
оказывают сопротивление внутренние напряжения.
24. Компоненты ускорения. Символ DjDt был введен Стоксом для
обозначения операций дифференцирования, связанных с движением элемента
жидкости. Например, уравнение неразрывности может быть получено в
соответствии с выражением
-?Ш- = о,
Dt
которое утверждает, что масса элемента с переменной плотностью р и
переменным объемом 6И7 не изменяется, как и масса элемента, перемещаемого
с течением времени. С другой стороны, можно ожидать, что любое свойство
элемента, являющееся функцией пространства и времени, изменяется при
движении от точки к точке частично из-за изменения его положения и
частично из-за течения времени. Если величина функции в момент времени t,
когда элемент находится в точке (х, у, г), составляет F(x, у, z, t),
тогда в момент времени / + bt при достижении им точки (x+ubl, y + vbt, z
+ wbt) ее величина будет
F (х + ubt, у + vbt, z -f wbt, t -f bt) =
ci &F л i dF s, . dF ,, . dF ",
= F -|-----ubt-\-vbt -j----wbt -j--bt.
dx dy dz dt
52
Так как последняя величина может быть выражена и как F+ + (DF/Dt) 61,
следовательно
DF dF , dF . dF , dF
b It b V 1- w .
Dt dt dx dy dz
Если предположить, что функция F(x, у, z, t)
представляет
скорость элемента жидкости, тогда величина DV/Dt будет опре-
делять ускорение, которому он подвергается в определенной точке и в
определенный момент процесса течения. Будучи векторной величиной,
ускорение может быть записано как
- DV
а = -
Dt
со следующими соотношениями для компонентов каждого из трех направлений:
Du du du , du , du
ax =------ =-----------b u--\- v -- -f w-----;
x Dt dt dx dy dz
Dv dv dv . dv . dv
a,. = -- =-Б U h V b W ;
y Dt dt dx dy dz
Dw dw , dw , dw . dw
a - ,- = .-----------------l u--------------1_ v p w - .
Dt dt dx dy dz
Как можно заметить, введение компонентов завихрения позволяет записать
эти выражения в следующем виде:
du , , d(V2/2)
ах = -------\-wг) - •
dt dx
dv . f t . d(VV2)
y dt dy
dw , t . 5(V2/2)
a2 - -- + vl - ux\-\----------------
dt dz
При использовании обозначений натуральной системы координат (с г радиусом
кривизны линии траектории) компонентами ускорения являются
= ио"= Л.
dt ds т
Однако если линии траектории и линии тока не идентичны, последние
