Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
смысле, чем в представлении о длительном вращении твердого тела) вокруг
оси, перпендикулярной каждой из поверхностей. Результирующая компонентов
|, т) и ? называется вектором завихрения со, или, в форме векторного
анализа, вихрем (или ротором) вектора скорости
(rot v\ = со = VY+WT
47
Дальнейшее рассмотрение завихрений будет приведено в еле -дующем пункте.
Значительно более обширная картина характеристик дефор мации в любой
точке (х, у, г), непосредственно относящаяся к последующему анализу
напряжения, дается так называемой поверхностью деформаций: трехмерной
поверхностью, удовлет воряющей соотношению, полученному умножением членов
де формации из каждого предыдущего уравнения на соответствую щие
увеличенные расстояния, и приравниванием их суммы по стоянной:
а (6х)2 -f b (by)2 + с (6z)2 + / (бг/бг) + g (бгбх) -f h (бхбу) = const.
Поверхность такого вида перпендикулярна относительной скорости деформации
6У в каждой соседней точке (х+бх, у + Ьу,
z + bz), как показано эллиптическим сечением на рис. 14. (Следует
отметить, что по условиям несжимаемости хотя бы одна из скоростей
линейной деформации должна быть отрицательной, при таких обстоятельствах
не все осевые сечения поверхности деформаций могут быть эллиптическими.)
Очевидно, что расположение осей обычных поверхностей деформаций
относительно координатных осей зависит от величин f, g и h и что эти две
системы осей совпадают, если все измерения угловой деформации равны нулю.
Иными словами, три оси поверхности деформаций являются направлениями
"чистой", или линейной деформации. В любом другом направлении из заданной
точки относительная скорость
деформации 6И будет отклоняться от линии 6г между двумя данными точками и
результирующая деформация будет, следовательно, как линейной, так и
угловой.
23. Завихрение и циркуляция. Математическим понятием, получившим
большое применение при анализе движения жидкости, является циркуляция -
линейный интеграл от касательного компонента вектора скорости, взятый по
всей замкнутой кривой (рис. 15):
T = §VLdL.
Положительный результат интегрирования получается при расположении
поверхности, окруженной кривой, с левой стороны, как показано на рисунке,
если смотреть со стороны внешней
Рис. 14. Сечение поверхности деформаций
48
нормали. Если dx, dy и dz представляют проекции элемента кривой dL,
циркуляция может быть записана так:
Замкнутый контур L должен рассматриваться как граница криволинейной
поверхности произвольной формы. На рис. 16
показано, что какова бы ни была ее форма, циркуляция вокруг нее должна
равняться сумме циркуляций вокруг элементарных поверхностей, из которых
она состоит, так как линейные интегралы вокруг всех внутренних частей
исчезают, оставляя только один для ограничивающей кривой.
Циркуляция вокруг элементарного четырехугольника со сторонами,
параллельными осям х и у (рис. 17), может быть записана так:
(17)
L
r-Q+rB+rc >г0
Рис. 16. Циркуляция
о
о
X
Рис. 17. Скорости на сторонах элементарного четырехугольника
49
ду 2 I \ дх 2
что упрощается до выражения
6Г = | -- - )ЬхЬу.
\дх ду)
Если это выражение для циркуляции разделить на площадь четырехугольника,
приняв ее предел стремящимся к нулю, получим
.. 6 г dv ди о
пш --------- =---------- = fe.
ьхЪу-t-o дх!)у дх ду
Очевидно, предельное значение циркуляции на единицу площади вокруг любой
кривой должно равняться компоненту вихря вокруг оси, перпендикулярной
плоскости циркуляции
6Г
lim - =
ss^o оS
Общая математическая теорема, связанная с именами Грина и Стокса, имеет
такое же отношение к ограниченной поверхности, какое имеет теорема
Гаусса, использованная в связи с принципом неразрывности, к ограниченной
области пространства; она выражена через те же члены однозначной функции
неразрывности и их производные
L S
дР _ dR_\ (fy ldQ_ __ dP_\ dz_
dz дх ! дп ' \ дх ду) дп
dS.
Левая часть этого равенства при замене Р, Q и R на компоненты скорости и,
v и w будет напоминать уравнение (17), представляющее циркуляцию вокруг
замкнутой кривой L. Правая часть в свою очередь будет являться интегралом
нормального компонента вихря по поверхности, ограниченной данной кривой.
Иными словами,
r = j""<fS=J( +nf- + s?)"s. <18>
S S
Предыдущие соотношения подобны соответствующим соотношениям для скорости.
Как правило, скорость и вихрь имеют много общих свойств. Прежде всего обе
величины являются векторными, а из определения §, т) и ? видно, что
существует следующее выражение, соответствующее уравнению неразрывности:
л--- дЪ +дчА_дЪ _ n ,1Q4
Далее, подобно тому как вектор скорости касается линии тока, можно
представить, как вектор завихрения касается вихревой линии в каждой
точке; дифференциальное уравнение такой вихревой линии составляет
В таком случае можно допустить, что группа вихревых линий образует
вихревую трубку так же, как линии тока образуют трубку тока. Циркуляция
по любому поперечному сечению вихревой трубки (рис. 18) соответствует,
следовательно, расходу через трубку тока. Трубка тока (если она не имеет
