Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Иначе это отношение может быть выражено как:
ди дг дг ди '
ду дг дг ду
ms
S S
Отсюда
Q = j j dtydx = (Фа - Ф1) (Ха - Xi)
44
ложными границами поверхности равно расходу потока через эту поверхность.
Тот факт, что размеры ф и х изменяются при переходе от двухмерного к
осесимметричному потоку (фактически при изменении ориентации
ортогональных семейств поверхностей тока), заставляет интересоваться,
каковы будут их размеры в настоящем трехмерном потоке. При таких
обстоятельствах может быть лучше считать ф и х чисто числовыми функциями
и для сохранения однородной размерности ввести эталонные переменные
соответствующей размерности. Так, если представить, что ф' и у' являются
безразмерными функциями координат пространства, умножение их на эталонные
расходы потока (или произведение эталонной скорости и квадрата эталонной
длины) позволяет записать общие уравнения следующим образом:
д%' ду'
дг дг ду
и =q(- I ду
и т. д.
Отнесение различных частей размерного расхода [Q]=[L37'_1] к той или иной
функции будет зависеть от ориентации, которая придана двум семействам
поверхностей тока для удобства анализа изучаемого течения.
Пример 4. Двухмерный поток, направленный по нормали к границе,
характеризуется нормальным компонентом скорости, изменяющимся прямо
пропорционально расстоянию от границы. Определить функцию тока, которая
устанавливает форму течения.
Рассматриваемое условие выражается уравнением
ди
v = - ку или -= - к.
ду
Из уравнения неразрывности dajdx+dvjdy=Q путем интегрирования находим,что
С dt>
и =- \ dx + C = kx + Ci.
J ду
По-видимому, здесь имеется точка симметрии, у которой и=0=и. С целью
упрощения можно допустить, что х=0, когда и-0, откуда Сi=0. Введение
соответствующих величин в уравнение Лагранжа для дифференциальной функции
тока дает
йф = udy - vdx = к (xdy + ydx),
откуда
f = kxy + Cs.
Линии тока, очевидно, имеют форму гипербол. Если значение функции тока
для линии тока у оси симметрии и вдоль границы принять равным нулю,
постоянная интегрирования исчезает.
45
В. Кинематика потока
а = ди дх ; Ь = dv ду
dw ду + dv дг " ди е = -т- дг +
dw dv ди дг
~ду дг >
22, Перемещение, деформация, вращение. При компонентах и, v и w скорости
V в точке (х, у, г) компоненты дифференциала скорости 61/ в точке (х4-6х,
у + ду, 2 + 62), отстоящей на бесконечно малом расстоянии от первой,
составят:
" . . ди j | ди t
6и = - 6x4 ду 4------------6z;
дх ду дг
. to , . Л , . to ,
dv = - 6х 4- -- Ьу 4- - 6г;
дх ду дг
s dw 8 1 Зг" s , Зиу 8
dw = - 6х 4----6г/ 4-----6г.
Зх ду дг
Если теперь применить систему обозначений Стокса
dw
' С " Зг '
Зге" ^ _ Зч , Зи Зх ' Зх Зу
Зда <. Зг; ди
Зх ' дх ду '
тогда предшествующие уравнения для скорости во второй точке относительно
первой могут быть записаны как
6м = абх 4- у hdy + у ^6z + Т ~ ^'
dv = -i- hdx + Ьду 4- - fdz f (?6х - |6г);
6(r) = у gdx 4- y fdy + сбг f ' (|6у - r]6x).
Для того чтобы показать, что при движении жидкости будет происходить как
перемещение, так и изменение формы элементов жидкости, интерпретируем
этот результат следующим образом. Три компонента скорости при допущении,
что они характеризуют условия в центре элемента (рис. 13), соответствуют
скоростям линейного перемещения. Три величины ди/дх, dv/ду и dw/dz при
умножении на соответствующие расстояния дх, ду и бг между
противоположными гранями представляют скорости, при которых
соответствующие пары граней расходятся. Отсюда величины a, b и с
определяют скорости линейной деформации или растягивания в трех
координатных направлениях. Из сравнения с уравнением неразрывности в
декартовых обозначениях видно, что жидкость не может подвергаться
линейной деформации одного и того же знака по всем трем направлениям,
если плотность ее не изменяется в этой точке со временем.
46
Если в свою очередь градиенты компонентов скорости в поперечных
направлениях умножить на соответствующие расстояния между
противоположными гранями, например (ди1ду)6у и т. д., результат будет
представлять скорости, при которых эти грани движутся касательно по
отношению друг к другу. Сами величины таким образом представляют скорости
углового перемещения средних линий элемента. Следовательно, в каждой ко-
6) fa да ft 2
ft
| yfft
?
L.
-ft-
~1
ft
dy 2
ft.
г" " 1 1 -1 ш ' 1 1
1 1 1 L- 1 1 J
/
i-- •
J
dv ft 1a'~2
г) ди &у ду 2 ft--j _ -\
\ \ \ \ 1 \ \
\ 1 \
ft \ \ \
u-•
dv
ft
ft
ft
v
u
Рис. 13. Схематическое представление перемещения, деформации и вращения а
- перемещение; б - линейная деформация; в - угловая деформация; г -
вращение
ординатной плоскости сумма скоростей углового перемещения в данной точке,
тех, что выражены величинами /, g или h, соответствует скорости угловой
деформации или касательного движения в соответствующей плоскости в этой
точке. С другой стороны, средние скорости перемещения средних линий в
определенном угловом направлении, т. е. |/2, г)/2 и XJ2, представляют
собой средние скорости вращения (скорее в мгновенном математическом
