Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
увеличения бф только на постоянную величину 2п.
Следует отметить три самых полезных свойства функций тока Лагранжа и
Стокса. Во-первых, они описывают в алгебраической форме геометрию
течения. Во-вторых, их пространственные производные могут быть
использованы для определения компонентов вектора скорости в любой точке.
В-третьих, поскольку при сложении двух потоков вектор скорости
результирующего потока является векторной суммой составляющих скоростей,
соответствующие функции тока, являясь скалярными величинами, могут просто
складываться алгебраически.
21. Поверхности тока в трехмерном потоке.
При предварительном рассмотрении движения жидкости обычно принято
определять трубку тока как элементарный контур, внутри которого проходит
расход бQ. Воображаемые стенки трубки обязательно имеют постоянную форму,
приданную им теми линиями тока, которые они содержат; в противном случае
их поперечные сечения могут иметь любую произвольную форму. В двухмерном
потоке, однако, было бы логичнее представить поперечное сечение как
четырехугольник, ограниченный двумя параллельными плоскостями и двумя
криволинейными поверхностями, пересекающимися вдоль обычных линий тока.
Подобным же образом при осесимметричном потоке трубки тока должны быть
естественно сформированы элементами коаксиальных поверхностей вращения,
при этом линии тока будут представлять собой линии пересечения этих
поверхностей с плоскостями, проходящими через ось. Понятие можно обобщить
еще более, полагая трубки тока, которые составляют поток произвольного
контура, ограниченными двумя различными системами поверхностей, взаимное
пересечение которых обязательно произойдет вдоль линий тока (рис. 11).
Рассмотрение так называемого дифференциального уравнения линии тока для
трехмерного движения показывает, что в действительности оно представляет
два самостоятельных уравнения.
Рис. 11. Схематическое представление линий и поверхностей тока
42
Интегрирование этих уравнений для определения мгновенной геометрии линий
тока приводит к двум независимым соотношениям вида:
Ф {х, У, z) -=F\
X (*" У,z) = G-
Каждое из этих соотношений описывает ряд поверхностей, вдоль которых
постоянные интегрирования F и G имеют последовательные значения и у
взаимного пересечения которых, т. е. у линий тока, представляющих решение
дифференциальных уравнений, обе постоянные применяются одновременно.
Такие поверхности называются поверхностями тока, а обе функции,
определяющие их, являются функциями тока. Поскольку поверхности
необязательно имеют определенную ориентировку по отношению к наружной
(или внутренней) границе потока, обычно целесообразно (при отсутствии
движения границы) одну из поверхностей совмещать с ней. В этом случае
границей будет поверхность тока, вдоль которой одна из функций тока ф
постоянна, а следующие друг за другом поверхности того же семейства
образуют гнездовой ряд (решетку), характеризуемый различными постоянными
величинами функции, последовательно нарастающими соответственно частями
потока, проходящими между каждой соседней парой. Другое семейство
поверхностей, которое обычно выбирается ортогональным первому, будет
пересекаться как с пограничными, так и с последующими членами первичного
ряда под прямым углом. Сказанное схематически изображено на рис. 12
продольным видом трубки прямоугольного сечения.
Так как поверхность тока определена как поверхность постоянной функции
тока, дифференциалы таких поверхностей могут быть выражены как
dijj = - dx + - dy -г - dz = 0;
v дх ду дг
d% = ^ dx + ^ dy + dz = 0,
дх ду дг
или, если dx = udt, dy = vdt, dz-wdt, то можно записать:
+щ~ = 0; u^+v^ + w*L = 0.
дх ду дг дх ду дг
Линия тона
Рис. 12. Пересечение поверхностей тока плоскостью в поперечном сечении
4*
43
Так как эти уравнения содержат одни и те же компоненты скорости, один из
них может быть исключен одновременным решением уравнений, чтобы дать
где к есть некоторая функция х, у и z. Этот коэффициент может быть
представлен также как функция только ф и х и может быть приравнен
единице, если жидкость несжимаема. Результатом является ряд соотношений в
декартовых координатах между функциями тока и компонентами скорости
неразрывной однородной жидкости без каких-либо других ограничений природы
потока.
Для вывода очень важного заключения о соотношении между функциями тока и
расходом потока через сечение конечной площади рассмотрим поверхность
x=const, перерезающую поток, компонент скорости и которого везде
перпендикулярен этой поверхности. (Использование обычного обозначения
координат позволяет принять поверхность произвольной кривизны, в
противном случае вывод был бы таким же.) Так как расход потока через
поверхность представляет интеграл от нормального компонента скорости по
площади поверхности, то имеем:
Но в теории преобразования переменных при вычислении показано, что
что подтверждает очень важное свойство функций тока: произведение
разности значений двух функций тока между противопо-
