Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
поверхностей. Так как эта система иногда очень удобна, ее развитие и
применение детально представлены в приложении.
На следующих страницах обозначение компонентов и, v и w будет
использовано в таком порядке в каждой отдельной системе, так как
достигаемая таким образом простота важнее неудобств, которые возникают
при преобразовании уравнений одной системы в уравнения другой.
Предлагается при преобразовании уравнения использовать символы, принятые
для декартовой системы, и делать соответствующие надписи в получающейся
системе только по ходу преобразования. Из рис. 4 видно, что
преобразование, например, двухмерных (декартовых) координат
в полярные очень несложно:
ип = и cos 0 -f- v sin 0;
Уп = ¦- п sin 0 + у COS 0.
18. Уравнения неразрывности. Закон сохранения массы образует основу
того, что называют принципом неразрывности. Этот принцип гласит, что
интенсивность увеличения массы
Рис. 4. Компоненты скорости в обозначениях декартовых и полярных
координат
3-1459
33
жидкости, содержащейся в данном пространстве, должна быть равна разнице
между количествами жидкости, втекающими и вытекающими из этого
пространства. Предполагая наличие сплошности жидкой среды, можно выразить
этот принцип в дифференциальной форме. Примем для примера, что
пространственный элемент имеет грани Ьх, by и 6z, параллельные осям х, у
и а, и расположен так, что в его центре тяжести плотность равна р и
компоненты скорости составляют и, v и w. Если учитывать изменение
скорости с расстоянием (рис. 5), расход массы потока
через поверхность, ближайшую к плоскости yz, может быть записан
приблизительно следующим образом:
/ д (р и) 6х " "
h-
Применяя подобное рассуждение для поверхности, наиболее удаленной от
плоскости yz, получим
Чистая величина притока массы в данный элемент через его поверхности
является, таким образом, разницей между двумя расходами, т. е. равна
- bxbybz. дх
Аналогичные выражения получаются для чистой величины притока через две
другие пары параллельных сторон. Поэтому полный избыток массы,
поступающей в данный элемент за единицу времени, представляет сумму трех
выражений, которая
34
должна быть равна изменению массы, содержащейся в элементарном объеме, по
времени
d(pu)
д(ра) , д (ран) ; дг
ЬхЬуЬг - ?<№**) .
дх ду
Чтобы исключить приближенные значения, полученные при допущении линейных
распределений плотности и компонентов скорости, предположим теперь, что
пространственный элемент сжимается по направлению к его центру тяжести. В
пределе, когда 61^ = бл:6г/бг-*- 0, для общего уравнения неразрывности в
декартовых координатах получается точное выражение
д(ра) . d(pv) , d(pw) ф
дх ду дг dt
(3)
Рис. 6. Пространственные элементы в цилиндрических и сферических
координатах
Величина, записанная в левой части этого уравнения, выражает дивергенцию
переменных, входящих в состав задачи, в данном случае произведение
плотности и вектора скорости V. Для однородной несжимаемой жидкости
плотность не зависит ни от времени, ни от пространства, в этих условиях
дивергенция самого вектора скорости должна равняться нулю, т. е.
компоненты скорости не могут одновременно увеличиваться по всем трем
координатным направлениям:
ди , dv , dw ~дх ~ду Иг
div V =
= 0.
(4)
По существу этим же путем можно следовать при выводе уравнения
неразрывности в полярно-цилиндрической и полярносферической системах;
расходы потока через несколько поверхностей соответствующих элементов
(рис. 6) будут выражены просто (без потерь при предельной точности) в
форме скоростей в двух противоположных углах. Для цилиндрической системы
общее уравнение принимает вид
д (риг) гдг
4-
d(pv)
гдв
d(pw) _ дг
Ф
dt
(53
3*
35
в то же время для потока несжимаемой жидкости оно сводится к следующему
выражению:
AM. + _*!_ + Jto- = о (6)
гдг гдд дг ' v
Аналогично выглядит и уравнение для сферической системы
д (рuR2) ^ д (р osin О) ^ д (рш) ___ ___ др ^
/?2д/? /?sindd§ /?sinOd(p dt
или для условий несжимаемости
д (ц/?2) . д (ц sin д) . dw __
/?2д/? sin Odd R sin (r)дц>
Прежде чем закончить разбор проблемы неразрывности, следует заметить, что
уравнение (3) может быть также получено на основании принципа сохранения
массы для произвольного объема с помощью математической теоремы,
связанной с именами Грина и Гаусса. Эта теорема будет использоваться на
страницах данной книги каждый раз, когда встретится необходимость в
переводе объемных интегралов в поверхностные, или наоборот. Формулируется
эта теорема следующим образом: если Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z),
dPIdx, dQ/dy и dRjdz- неразрывные и однозначные функции в односвязной
области W, ограниченной замкнутой поверхностью S, тогда
+Q~f- + Rir)dS== f (ir + ^r + ^r'ldW'
J \ dn dn dn I J \ dx dy дг j
s w
где ti представляет расстояние по перпендикуляру наружу от поверхности;
дх/дп, ду/дп и dz/дп являются направляющими косинусами (обычно
обозначаемыми через /, т и п) перпендикуляра с осями координат. Если
