Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Подобно давлению и температуре плотность должна рассматриваться как
функция координат точки и в большинстве случаев также как функция
времени:
р = р(х, у, z, t).
Имеются области анализа, в которых такое изменение плотности играет
огромную роль. Например, в метеорологии и океанографии температура и
давление значительно меняются по высоте, а в баллистической и
сверхзвуковой аэродинамике они изменяются значительно и быстро со
временем. Тем не менее есть обширный круг проблем, занимающихся по
существу однородными жидкостями, движущимися со скоростями, изменения
которых малы по сравнению со скоростью звука и которые располагают
периодами, длительными по отношению к времени, необходимому для
достижения звуковыми волнами пределов системы. При этих обстоятельствах
можно допустить, что плотность не зависит ни от места, ни от времени, т.
е. является постоянной.
17. Скорость как функция времени и пространственных координат. Как и в
общей механике, временное изменение положения элемента потока (жидкости
или газа) является мерой его скорости. Однако поскольку основной
особенностью движения жидкости является непрерывное искажение ее
элементов, в механике жидкости, даже более чем в механике твердых тел,
важно выразить скорость в разных характерных точках. Так, скорость V в
любой точке жидкой среды может быть записана как предел, к которому
стремится отношение перемещения 6s элемента вдоль его пути к
соответствующему приращению времени бt, когда последнее стремится к нулю:
V = lim .
bt^-Q 61
С другой точки зрения - той, что особенно соответствует движению
жидкостей, скорость в точке может рассматриваться как предел, к которому
стремится отношение объема жидкости бQ, проходящей через перпендикулярную
поверхность за единицу времени, к площади этой поверхности бЛ, когда
последняя стремится к нулю:
V =
г,а-+о оА
Так как скорость является векторным количеством, ее величина может быть
выражена корнем квадратным из суммы квадра-
31
тов ее компонентов в трех взаимно перпендикулярных координатных
направлениях:
V = уГ и2 -\- v2 + w2 .
Более того, поскольку предполагается, что величина и направление скорости
должны в общем изменяться как пространственно, так и во времени, каждый
из ее компонентов должен быть записан не только как предельная степень
перемещения в соответствующем направлении или как предельный расход
потока,
Рис. 3. Соотношение декартовых, цилиндрических и сферических координат
приходящийся на единицу площади перпендикулярной поверхности, но и как
функция времени и положения координаты. Например, если выразить через и
скорость по направлению оси х, через 6х проекцию перемещения 6s, через
6АХ проекцию площади б А на плоскости, перпендикулярной х, и через б Qx
расход потока через проектируемую площадь, то
и = Пш == lim (tm)й ¦ - и (х, у, z, t).
8f-О б t iAx-+° ЬАХ
Существуют, конечно, различные системы координат, пригодные для изучения
движения жидкости, каждая из них имеет преимущества, делающие ее удобнее
других при определенных обстоятельствах. Та, которую иногда называют
естественной координатной системой, относится к пути элемента в точке
наблюдения; в ней s обозначает расстояние по направлению движения, п -
расстояние по перпендикуляру к линии пути в направлении к местному центру
кривизны и т - расстояние по перпендикуляру к местной плоскости кривизны.
Чаще всего благодаря симметричности используется декартовая система, хотя
ее удобно применять на практике только тогда, когда некоторые из границ
потока являются плоскостями. Две другие системы больше подходят к
специальным случаям потока; их отношение к декартовой системе показано на
рис. 3. Наиболее знакомая из них включает полярные координаты г и 0,
которые находят широкое
32
применение при изучении двухмерного потока; очевидно, что x = /"cos0 и г/
= г sin 0. При добавлении линейной координаты г получается полярно-
цилиндрическая система (г, 0, z), показанная на рисунке слева, очень
удобная для анализа потока, осесимметричного относительно оси г.
Для осевой симметрии, особенно при шарообразных границах, подходит
сферическая система, показанная на рисунке справа. Координатами ее
являются R, ¦&, ср, причем Ф и ср очень похожи на широту (90° - -0) и
долготу земли; здесь x-R sin # cos ср; y = R sin ¦O'sin ф и z = R cos ih
К сожалению, невозможно разработать полностью последовательную
терминологию для цилиндрических и сферических систем; так что их
используют в более общих случаях.
В каждой из упомянутых систем координаты точки, очевидно, определены
пересечением трех взаимно перпендикулярных поверхностей. Например, в
полярно-сферической системе координаты точки определятся пересечением
шара радиусом R, конуса с углом при вершине -О- и меридианной плоскости
cp = const. Фактически все такие системы могут рассматриваться в
унифицированной форме относительно системы общих координат, в которой
элемент ограничен рядом взаимно перпендикулярных криволинейных
