Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
систем в точке. Например, выражение
I дх 1 дх 1 дх
dx - 77 ¦ Га (м") + 77 ¦ 7Р (МВ + 77 ¦ 77<Ыт)
показывает, что направляющие косинусы оси х с осями a, р и у составляют
(dxlda)/hu (dx/dp)/А2 и (dx/dy)/A3.
Если удобнее выражать a, Р и у в виде функций х, у и 2, то можно
записать:
да да да
hxda = hx -dx + hx dy+hx - dz и т. д. дх ду dz
Отсюда получается альтернативная форма для направляющего косинуса.
Обе формы приведены в табл. 7,
Направляющие косинусы
Таблица 7
а т
1 д* да 1 дх h ЭР- 1 д* ду
hx да kl дх h2 др дх Аз ду Лз д*
У 1 ду hx да~ 1 ду hi * 1 ду h3 ду
hx да ' ду А3 др ' ду А3 ду ду
г 1 Ai дг да да hx дг 1 hi дг др : и h'2"ь дг 1 А3 дг ду ду 3
Ос
Эти направляющие косинусы удовлетворяют обычные соотношения для
ортогональной координатной системы, т. е.
1 дх 2 /1 дх \а / 1 дх\2
+
hi
да I да 2
Аа др /. др
~lhl дх 1 + [Н* дх
\ К ду j
дх's да )
+
, _1_ ду 2 М _дг ,2 __
( hx да j \ kx да }
25-1459
377
= (А 1
да
дх
ду
да
-
да
дх
ар ' ар
дх
+
1.2
flry
да \3
дх
д\
ду
дх
fti р /
др / ду дг
ар ' "ар
dJL
ду ду
ду
fti
ар
ip
а</
^3
<3,2
?
?
дг
да \2 дг I
- . д у-ду
<h __ ду =
dJL.
дг '
: 1;
-- = 0; ду
0
и т. д.
Уравнение неразрывности. Приемы, применяемые при выводе уравнения
неразрывности в криволинейных координатах, по существу не отличаются от
приемов, применявшихся при выводе его в прямоугольных координатах.
Обозначая компоненты скорости в направлении возрастания а, р и у
соответственно символами и, v и w, получаем для расхода потока через
элементарный прямоугольник со сторонами Л2сф и h3dy произведение
puh2h2d^dy.
Действуя таким же путем, как в случае прямоугольных координат, получим
уравнение неразрывности
divpV =
1
ftift2fta
д д д
- (р"Л2Лз) + -тт (pnftsfti) + г- (pa>Ai Аа) да др ду
Для безвихревого потока выражения компонентов скорости через потенциал
скорости составляют
1 дф 1 дф 1 дф
fti да А2 др ' А3 ду
(295)
Это дает градиент потенциала уф. Если, кроме того, жидкость несжимаема,
то получается уравнение Лапласа
1
+
у2Ф ¦¦ ...
hih^h з д ( A3Ai_ дф \
д
да
А2А;
2''3
др
др / ду
hi д (hih2 h я
дфх
ду 1
(296)
Для системы конфокальных координат р., выражения
At = с
а2-и2
Чг
/in -------
=cl^=J^ I L2- 1
Ф уравнений (74) получаем - р2 \Чг
\ 1 - р2 / \ i,'
Аз = с (1 - р*)1/- (?2- 1)7а , подстановка которых в уравнение Лапласа
дает
jd_
dp
А дф
1
"Ь-
_д_
di
(I-?2)
д$
<5?
д2ф _ дф2 " дгф ?2 ' дф2
(297)
Циркуляция и завихрение. В криволинейных координатах выражение для
циркуляции вокруг замкнутой кривой L имеет вид
Г = J (fti"d а + hyud р + ft3cody),
L
378
Это выражение связано с вихрем со с компонентами 1, т) и ? по теореме
Стокса:
Г = | (? А2М NY + 'П hahid yda + ? hjitft асф).
S
где S - поверхность, ограниченная L. Применяя эту теорему к элементарному
криволинейному прямоугольнику со сторонами, параллельными двум осям в
окрестности точки, получим, как и в случае прямоугольных координат:
1 д д 1
А 2 А3 - (Л3щ) " (hjp) ду ;
1 " д д
^ h-Лх ~(М)- - (А3т) да ;
1 ' д д
^ h гА2 -- (h2v) - . да - (Aim) dp J 1
Поскольку g, г) и ?-компоненты вихря вектора скорости V, то приведенное
выражение дает компоненты вихря произвольного вектора в криволинейных
координатах.
Уравнения Навье - Стокса. Уравнения Навье - Стокса могут быть выражены в
векторной форме
-Щ- - ПХсо + "у(у-ш)= -gradf- + Й) ф dt 2 \ р /
+ v ( grad div V - rot со ),
где НХсо - векторное произведение, компоненты которого составляют у?-wr\,
mg- м? и иц - и|. Подставляя выражения градиента, дивергенции и вихря в
криволинейных координатах, получим уравнения Навье - Стокса в следующем
виде:
+
2 ди д 1 1 \ 2
h2 да dp \ *¦4 "С 1 1 -с
X j 1 д (Мз)
U1M3 ар
о Is ( 1
hihih3 \hih3h3
ди
ар
+
^г~Х
(299)
а Р Y
X 1 0 0
• 1 0 1 0
г 0 0 1
)
Скорости деформации. Чтобы найти выражения для скоростей деформации в
точке Р0 в криволинейной координатной системе, рассмотрим де-картовую
координатную систему с осями х, у, г, расположенными параллельно
касательным в точке Р0 в направлении возрастания соответственно и, Р и у.
При этом направляющие косинусы в точке Ра сводятся в таблицу.
Затем рассмотрим преобразование а = = [du'jdx)о, где индекс 0 обозначает
величину в
точке Ро, а и', v' и w' обозначают компоненты скорости по осям х, у и z
соответственно. Тогда
Кроме того,
ди'
дх
и
hi
ди'
да
дх v да А2
дх
ар
ю
А3
дх
ду
да
~дх
+ ¦
или, поскольку в точке Ро
да
дх
дх
да
то
hi
hi
ди
да
+ -
_а_
да
и
и
hi
1
hi ¦ hi,
дх
да
д_г/
ар"
ар
дх
дх
ар =
дх
ду
дх
дх
ду
ди'
ду
= 0; = 0,
ду
дх
+
! д2х dhi
\ас^~ да ,
дх w
ар А3
v а2х
Аа
дх ду
w
ааар а3
)1
Таким же образом получаем
+
/ = Аз
dv' dw' \
дг ду /,
дг/ дг
а / и apl ~hi
dw'
ду
дг v
да А2
'JL
ду
дг
W
и
hi
w
Аз
ди v
-- -(- - да А2
дг " *
ау
ду
' ар
Аз
дЧ
даду
ду ду, д2у dv + ~д^
+
даду
+ ¦
/ д2у ал2 ¦ + W т д2у- 1 1 и д2г
\ арау ау &3 ду2. 0 Ао hi аиар
