Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
экспериментальных данных, предложил соотношение
- д и. - г) и
_!_ . tE + _1
р дх р
д?ху
ду
372
в котором А - линейный параметр, постоянный для данного потока. Это
выражение специально приспособлено к_его сокращенным уравнениям и
гауссовским распределениям и2 для ограниченных потоков. Если значение и'2
не слишком велико, то рас-
Плосшть
Г_
S
Рис. 141. Распределение скорости двух параллельных струй
пределение осредненной скорости аппроксимируется гауссовской кривой.
Для случая двух параллельных круглых струй в безграничном пространстве
Александер применил аналитический метод наложения продольных компонентов
скоростей двух независимых струй, отбросив их поперечные компоненты. Как
видно из рис. 141, его анализ, основанный на гипотезе Рейхардта, дает
хоро-
373
шее приближение к реальному потоку, но не отражает тенденции струй к
сближению. Включение в анализ поперечных компонентов скорости может
уменьшить это несоответствие.
Гидравлический прыжок может рассматриваться главным образом как случай
свободного турбулентного потока со сдвигом, ибо сдвиг вдоль границ при
этом относительно мал. Форма свободной поверхности, так же как и характер
потока, определяется турбулентной диффузией. Цзубаки осуществил анализ
этой задачи, приняв гидростатическое распределение давления и задавшись
распределениями турбулентного сдвига и осредненной скорости. Он получил
решение для формы свободной поверхности, включая длину вальца и длину
прыжка, содержащее одну неизвестную постоянную. Хотя данные, достаточные
для проверки применимости принятого им распределения скорости и сдвига,
были получены лишь недавно, метод, использованный им, может быть
рекомендован как пример типичного анализа, необходимого для ограниченных
потоков.
Пример 34. На приложенной схеме изображена двухмерная струя в
ограниченном вторичном потоке. Для простоты распределение скорости в зоне
диффузии принято треугольным, а давление - постоянным в любом поперечном
сечении. Пренебрегая развитием пограничного слоя вдоль внешних стенок,
определить осевую скорость ит, скорость к2 вне зоны диффузии и
интенсивность давления р2 в сечении, где ширина диффузионной зоны равна
удвоенной ширине щели. Массовую плотность жидкости принять равной 2 slugs
на кубический фут.
Применение уравнения Бернулли вдоль поверхности тока, образованной любой
границей водовода, приводит к выражению
Неразрывность потока требует равенства
U0 + 3Ui - 4и., -f (ит - и").
pT'f = pi'l -f 2 р2.
374
Далее, соотношение для количества движения может быть записано так: 1
- 4р" - 2р j* и2 dy - pU^ - 3pt/2 + 2pu|,
6
где и - скорость в произвольной точке сечения. Интеграл легко может быть
определен, поскольку
и-Ит - у ("*-"*).
Совместное решение уравнений и подстановка чисел дает:
ыт = 11,7 футов в 1 сек-, и*. = 1,42 футов в 1 сек;
Р2 = 1>98 фунтов па квадратный фут.
(Осевая скорость ит больше начальной U0 только в силу искусственно
принятого треугольного распределения скорости).
ПРИЛОЖЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Большая часть уравнений, приведенных в тексте, записана в прямоугольных,
цилиндрических или сферических координатах. Заметное исключение
составляют уравнения пограничного слоя, для вывода которых необходимо
было использовать параллельные координаты, и решение обтекания
эллипсоида, для которого были введены эллипсоидальные координаты.
Унифицированная форма всех этих уравнений может быть дана в криволинейных
ортогональных координатах.
В системе криволинейных координат
<* = a(x, у, г); Р = Р (х, у, г);
Y = Y (х,У,г)
и поверхности a=const, p=const и y=const взаимно ортогональны. В
произвольной точке (a, Р, у) эти поверхности пересекаются вдоль трех
взаимно перпендикулярных линий или дуг, которые могут рассматриваться как
местные координатные оси в направлении возрастания соответственно а, р и
у. Длины элементов дуг в этих направлениях обозначаются Aida; htdfi и
h^dy. Таким образом, в сферических координатах, где длины дуг составляют
dR, RdQ и R sin Qdb, линеаризирующие множители равны: Ai = l, h2-R и h%=R
sin О. Расстояние ds между точками (а, р, у) и (a-fda; P+dP; y+dy) дается
выражением
(ds)2 = A? (da)2 + Al (dp)2 + А| (dy)2 = (dxf + (dyf + (dzf.
Для определения Ai, A2 и Аз в общем случае, очевидно, может быть
использован такой метод решения. Если выражения х, у и г в форме a, Р и у
составляют
х - х(а, р, у); у = у(а, р, у); г = г(а,р,у),
откуда
(ds)2 =
+
Ш'+Ш'+Ш)'
дг 2 др )
0*Р)2 +
L(tJ
(da)2 + 2
ду ^
дх . (ду\г
(?) + (.*
1 др) + Гар) +
/ дг \21
(dy)1,
где коэффициенты смешанных членов, таких как dpdy, могут быть приравнены
нулю вследствие ортогональности. Отсюда получается
А? =
дх 2
- I ¦
da '
I ду [ да
дг '¦*
da )
и т. д.
Из вышеприведенных соотношений между дифференциалами dx, dy и dz и
длинами элементов htda, h2dр и /i3dy в криволинейных координатах можно
непосредственно получить направляющие косинусы для осей двух координатных
