Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
чем значение б. скорости
Рис. 102. Схематическая эпюра
287
Последней должна быть определена толщина слоя жидкости, переносящего
энергию 63. Торможение потока в пограничном слое из-за вязкости неизбежно
вызывает уменьшение потока энергии. Величина 63 определяется как толщина
слоя жидкости, движущегося со скоростью U, в котором поток энергии равен
ранее потерянному перед данным сечением. Для двухмерного потока
уменьшение потока энергии выражается так:
где п - расстояние, нормальное к поверхности вращения; г0 и г -
радиальные расстояния от оси симметрии до стенки и до произвольной точки
в пограничном слое.
Пример 24. Определить толщину пограничного слоя и толщину смещения у
корпуса корабля в точке, отстоящей на 300 футов от носа, при скорости его
10 узлов (1 узел=1,69 фута в секунду).
Современный уровень знаний о пограничном слое не позволяет точно
рассчитать трехмерный поток у корпуса и учесть влияние свободной
поверхности. Однако приблизительно толщину пограничного слоя можно
определить, допустив, что корпус эквивалентен плоской пластине такой же
длины. Всестороннее рассмотрение турбулентного пограничного слоя у
плоской пластины дано в части Г. Для нашей цели достаточно
воспользоваться следующими эмпирическими формулами Прандтля и Блазиуса:
О
J ри (и2 - и2) dy.
о
Отсюда
о
Для осесимметричного потока
5
о
(203)
о
о
где
Ux
Re*=
288
Толщина пограничного слоя 6 получается прямой подстановкой в формулу
v=10"5, х=300 футов и (/=16,89 футов в секунду. Число Рейнольдса Re*=5,07
• 108, а 6=2 футам. Тогда
6.
3",
Б. Уравнения пограничного слоя и их интегралы
83. Двухмерный поток вдоль криволинейной стенки.
Предположим, что поток, движущийся вдоль криволинейной стенки, двухмерен
и турбулентен. Конечные уравнения будут включать в себя как частные
случаи уравнения для ламинарного пограничного слоя, когда пульсаци-онные
члены равны нулю, и уравнения для потока вдоль плоской границы, когда
кривизна стенки равна нулю.
Для вывода уравнений лучше всего использовать систему ортогональных
координат, совместив поверхность стенки с одной из ортогональных
плоскостей. Линии, нормальные к стенке, считаются следами двухмерных
плоскостей x=const, где х - расстояние вдоль стенки от фиксированной на
ней точки; расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга кривые,
параллельные стенке, считаются следами двухмерных плоскостей y=eonst, где
у- расстояние от стенки до любой точки потока по нормали. Так как
поверхность стенки и поток двухмерны, семейство поверхностей 2=const
состоит из плоскостей, параллельных плану потока, компонент средней
скорости w равен нулю и все средние величины не зависят от г.
Предполагается, что кривизна стенки, обозначенная К(х), имеет величину
порядка линейного масштаба L. Как показано в приложении и изображено на
рис. 103, элемент дуги в направлении увеличения х равен h\dx=(\+Ky)dx, а
в направлении увеличения у и z соответственно dy и dz. Отсюда h\ = 1 +Ку
и h2 = h3 = 1.
В рассматриваемой координатной системе уравнение неразрывности, данное в
п. 5, записывается в такой форме:
ди , и \гчи/ , и \i4iv/ л (204)
Рис. 103. Ортогональные координаты для двухмерной поверхности
дх
д (fijv) д (hjw) _ q
ду
дг
19-1459
289
Члены конвективных ускорений из уравнений Навье-Стокса, взятые из
приложения, могут быть записаны с помощью равенства (204) следующим
образом:
ди , iw dhi
и
hi
ди
дх
_1_
hi
+ V д(и2)
дх
и
hi
1
dv дх д (uv) дх
ft)
ди
ду
+ ¦ dJL
ду
_1_
hi
d{h\
-f til -f
dz hi dy
у) d (uw) dz
djh
~dy '
dy
-f w
dv
dz d (ftiD2)
dy
+
u
Ti ' d (vw) dz
Ku2
' hi
Отсюда, заменив и через и+и' и v через v + v' и осреднив, получим
компоненты ускорений для турбулентного потока
Du
Dt
ди
dt~
+
1
hi
~Dv
Dt
_1_
hi
dx
{U + "'") +
К
_d_
dy
/tf {uv -f u'v')\ ;
dv
dt
hi dx
d {uv -f u'v') -j-
- [/ti ( o2+ t/2)]------------------ (u2 + U'2).
dy /J hi '
Уравнения Рейнольдса принимают вид
Du 1 dp . A + V dx ' 1 d*u _1_ dx1 hi
~Dt P hi . *?
- JL dK du . ' T*+~ 2K_ dv K2u . r,~K +
' h\ dx Л? '
Dv Dt - - 1 P dp -JL +v dy 1 d*v 1 dx3 hi
_ У_ dK dv 2K du Krv H
h\ dx dx h\ dx h\ h\
д_
ду
h\
[Ф
rf/T 1 .
д__
ду
hi
dK
dx
dx J
dv
dy
(205)
(206)
Граничные условия: u = v - 0 на стенке и u(6) - U у внешнего края
пограничного слоя, где U - скорость основного потока.
Приблизительная форма равенств (204), (205) и (206) может быть получена
на основе допущений п. 81. Так как Ку<? 1, то hi везде заменяется
единицей. Отсюда равенство (204) принимает вид
ди
дх
ду
(207)
290
После введения безразмерных величин u = u/U, l = x/L, ц=у!6, которые не
превосходят единицы в соответствии с допущениями, и v = vL/Ub уравнение
(204) может быть записано так:
- + - = 0. dl dt]
Последнее равенство показывает, что v также имеет величину порядка
единицы, и подтверждает четвертое допущение о том, что v имеет величину
порядка Пб/L. Набор безразмерных величин порядка единицы завершается
