Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
В этом порядке, зная ц0 и g2(p0)" мы можем найти масштаб Л, но эта
формула не определяет Л однозначно, так как она получена интегрированием
уравнения (8.5), а потому лишь приближенная.
ЛИТЕРАТУРА
1. Becchi С., Rouet A., Stora R., Phys. Lett., 52Br644 (1974).
2. Politzer H.D., Phys. Rev. Lett., 26, 1346 (1973).
3. Gross D" Wilczek F., Phys. Rev. Lett., 26, 1343 (1973).
Приложения
Функциональные гауссовы интегралы будут пониматься как проиэ* ведение
большого числа обычных гауссовых интегралов. Простейший из них
С(о)-Т dx е~ах\ (А.1)
- 00
если воспользоваться приемом Пуассона, заключающимся в том, что" бы
возвести в квадрат этот интеграл и перейти в подынтегральном вьк* ражении
к полярным координатам, оказывается равным
G(a) = V тт/° ¦ (А.2)
Можно обобщить это на случай N степеней свободы. Пусть
+¦ 00 -X: а ; : X:
G(A) = S dxtdx2 ... dx^e , (А.З)
- ОО
где А - действительная симметричная N к /У-матрица с матричными
элементами a f.. Напишем
xiaijxj =ХТАХ> r"e Ат = А " (А.4)
Матрицу А можно диагонализовать путем поворота:
A = RtDR, RTR = RRT= 1, (А^)
где D - диагональная матрица со значениями dlt d2, ." <//у. Тогда
G(A) = fdx1...dxNe-XTRTDRX= (А?)
vTDY
= fdri...drNe-Y \ (АЛ)
где У = RX, Якобиан равен единице (докажите это). В переменных у
318
Приложения
интеграл G{A) распадается на N множителей: Gpj(A) = G(dl)G(d2) G(dj\f) =
-ттN/a (dtd2 ...dN)~* =
= irN/2 (det A)-* ,
(АЛ) (A.10)
(AJB)
если допустить, что все собственные значения матрицы А положительны.
Аналогично можно доказать, что если Zi - комплексные переменные (число их
равно /V), то
где С - эрмитова N х /V-матрица с положительными собственными значениями.
Формально можно теперь определить гауссов интеграл по траекториям,
перейдя к пределу при N -*
Эти формулы справедливы в случае, когда детерминант отличен от от нуля.
Если же он равен нулю, то, значит, некоторые di равны нулю, что приводит
к бесконечности при интегрировании по бесконечному интервалу. Но нельзя
ли получить осмысленный ответ даже в том случае, когда детерминант
обращается в нуль? Было бы идеально, если бы удалось отделаться от этих
гадких бесконечных интегралов. Можно ли найти такую процедуру?
Предположим, что у симметричной N* /V-матри-цы А имеется п нулевых
собственных значений. В переменных у определим ограниченный гауссов
интеграл
где мы интегрируем только по тем переменным, которые соответствуют
ненулевым собственным значениям матрицы А. Такая форма интеграла GQrp(A)
неудобна, так как он зависит от правильной системы координат у. Чтобы
избавиться от этого, введем новые переменные У/у-п-и""*} У/v и перепишем
'(А.12) в виде
Gorp('4) ='/VУ1 dyN-n dr(N -n+^ - dyNS{ya>_n+ -i)...
Затем перейдем от переменных у к переменным х} пользуясь формулой Якоби
f П dH dz*e-z^cz = (2tt)^ (det С)-1,
(АЛ 1)
(А.12)
6<у*)е-*Г(у)/1*(у) . (А.13)
(АЛ 4)
Приложения
319
и в результате придем к окончательному выражению
Согр(Л)=/( П d*,)det |l|L_ I П 5(Уо)е-*Г/|\ (А.15)
> ох а = N -п +1
Этот интеграл вполне определен. Здесь уа - некоторые произвольные функции
переменных х, а дополнительные множители det \ду/дх\Т\Щ) в мере
эффективно ограничивают интегрирование по /V-мерному пространству
интегрированием по {N - п)-мерному пространству. Как явствует из самого
построения, GQ (Л) не зависит от конкретного вида функций уа (х), а N -
л. Само собой разумеется, что необходимо правильно выбрать функции у0
(ж), чтобы они действительно ограничивали область интегрирования, так как
иначе якобиан det | ду/дк\ будет сингулярным. (Такой метод изменения меры
применен для интегралов по траекториям в калибровочных теориях. Это
привело к знаменитым духам Фаддеева - Попова в ковариантной калибровке.)
В заключение докажем еще одно соотношение. Рассмотрим теперь
F[A, "]./, П dXie-xTAx + aT\ (А.16)
1
Перепишем показатель экспоненты, дополнив его до полного квадрата:
xTAx-ur х -(*_ -1 А-1 а)Т А{х_ J_ Л-1 со) --.юГЛ-*со, о 2 4
(А. 17)
при условии, что обратная матрица Л-1 существует. Полагая
*' = *- 1 А-1 со, (А.18)
так что dx* = dx: , находим
i 1
1 т
- СО ^ л * /д 1 m
F[A, со] = е 4 f, ГТ dxГ е~х Ах = (А.19)
i =1 1
1 Та~1
= yV/2e-T " " (det Л)~*. (А.20)
И вновь результат для интеграла по траекториям формально получается
переходом к пределу N -"°".
320
Приложения
Б. Интегрирование при произвольном
Рассмотрим интеграл IN=^NlF(l), (БЛ)
где F{1) - произвольная функция только длины (u = 1,..., /V), а /V -
целое число. Введем полярные координаты в N измерениях
(/j, ... , 1р/)-+(Ь> ф, ...j Оуу _2),
где L2 = Ум < (Б.2)
Тогда
d^l = L^_1dL dip sin QjrfQj sin2 02^2 ,,? s*n^ 2 -2 2 ¦>
(Б-3).
где считается, что переменные принимают значения в интервалах
0<L<oo,0<q><2,n> О<0е- <тт, i = 1, ..., /V - 2 * (Б.4)
Нетрудно показать, что N -2 тг
/д,= 2тг П f .Binк QkdQk°f LN-1 dL F(L). (Б.5)
k= 1 0 0
Пользуясь хорошо известной формулой
f (sin j)2*-1 (c°s 02y_1 = - Г(*)Г(у) , Re x, Re у >
о 2 Г (x + у)
(Б.6)
причем у = 1/2, получаем