Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 91

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 98 >> Следующая

калибровочного преобразования. В явном виде
5((r)ЦР)В = ^5В + f ВСЕ (%ipfPc + f ВСЕ ASSpc ¦ (7.11)
Члены, включающие одну производную, имеют вид
Зц[6? +±иВСЕРЕРСЪ (7-12)
it
так что, если положить
8pB-Ls/eCEPCPE. (7.13)
it
у нас останется
4\p)B-ifBCEfEFGA^pFpc+ 1-иВЕСА^ЕРСрР9б (7.14)
Если учесть, что
fABC = i(TA)BCt (7.15)
то можно переписать выражение (7.14) в виде
5((r)ЙР)В *-l(TFTC)GBAfpFpC +_LlfFCE(TE)GBAGpFpC . (?Л6)
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 307
Теперь, пользуясь антисимметрией при перестановке F и С и соотношениями
алгебры Ли для матриц Т, мы можем убедиться, что при условии (7.13) это
выражение обращается в нуль. Итак, эффективный лагранжиан (5.1)
инвариантен относительно комбинации преобразований
причем мы явно указали зависимость от константы связи, положили Ga = д •
Ал и включили фермионы. Эффективное действие инвариантно относительно
этих преобразований БРС только при условии, что все константы связи
одинаковы. Так как преобразования БРС ие меняются при изменении
размерности пространства-времени, они останутся невредимыми при размерной
регуляризации, а это означает, что как ? так и ?комтр останутся
инвариантными при таких преобразованиях. Отсюда вытекает первое
следствие: все голые константы связи должны быть одинаковы, т.е. мы
вправе теперь положить в
откуда вытекает, что выполняются соотношения (6.4) и, таким образом,
помимо Zo и Zm, имеются только четыре независимые константы
перенормировки, например Zu z2, Z3, Z6, причем три из них мы уже
вычислили.
Как и в абелевом случае, можно на основании БРС-инвариантно -сти вывести
тождества для янг-миллсовских функций Грина. Чтобы предотвратить
появление сложных нелинейных членов, удобно ввести такие источники,
которые связаны с изменениями полей при преобразовании БРС, т.е. добавить
к обычному набору источников /в, а в, ? в> X, X" связь которых с
фундаментальными полями имеет вид
другие источники рА, иА, Л, Л, связь которых с нелинейными изменениями
полей в результате преобразования БРС имеет вид
БЛВ= ±?(2ЫВ, 5оИ= Аа1,
ц g
6р4 = -L ? fABCpBpc, SY = -iipATfr,
2
(7.17)
(6.3)
(7.18)
~<JlAl + соВ(тв + рв5В + *Х^ + ^х>,
(7.19)
308
Глава 8
Мы будем исходить из производящего функционала 2[ / в а в §в, х, Х> т*
ив, Л ], (7.21)
определяемого соотношением
= /ФЛцфу Фт Фи фре-^**, (7.22)
г" 5эфф.есть действие 5 эфф из § 5 с добавленными источниками
(7.19) и (7.20). Выполним преобразование БРС переменных
интегрирования в (7.22). Такое изменение переменных не должно повлиять на
Z. Поэтому всякое изменение подынтегрального выражения по сравнению с
(7.22), связанное с таким изменением переменных, должно быть равно нулю,
что и приводит к янг-миллсовскому варианту тождеств Уорда.
Во-первых, можно показать, что мера интегрирования не меняется при
преобразовании БРС (см. задачу). Во-вторых, мы только что показали, что
действие ?Эфф инвариантно относительно преобразований БРС, следовательно,
меняться могут только члены с источниками. Линейные по полям члены
приведут к дополнительным членам в показателе экспоненты
-< /+ 5совов + 6рв§в + ixБТ + iBifx >• (7.23)
Члены выражения (7.20) не дают дополнительного вклада, так как
преобразование БРС нильпотентно: два преобразования БРС дают нуль.
Дейётвительно,
g(^BCDpCp?>) _ о, (7.24)
б(рл7^Г) = 0 (7.25)
и выполнено равенство (7.10). Это нетрудно доказать (см. задачу). Таким
образом, единственный результат нашего преобразования заключается в
добавлении в показателе экспоненты под интегралом членов (7.23). Они все
линейны по грассмановой переменной 5, так что эта дополнительная
экспонента легко разлагается - член, линейный по 5, должен равняться
нулю, так как это единственное изменение подынтегрального выражения. Это
приводит к тождествам
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 309
/(r)(. . .)<_!_;*$ир)в- - <?• 4BaB + i-/BCDPcpV +
g * <Lg 2
+ ХРATf Т - VpATf х>Г5эфф = 0. (7.26)
Выписанное функциональное уравнение чрезвычайно нелинейно, и работать с;
ним ужасно трудно. Теперь ясно, зачем были нужны дополнительные источники
- мы можем заменить все эти нелинейные члены функциональными
производными, так как по построению
К - -у. ¦ <7-27>
-L((r) р)в= S (7.28)
о от
к и
I^BCpBpc,.JL_, (7-29)
р АТАу =_L, (7.30)
' 5Х
причем все эти равенства выполняются в применении к exp f -s дфф!.
Поэтому можно теперь записать эти тождества в виде линейного
функционального дифференциального уравнения
<tf бЬ +<тВ Tg6* + §В + хбГ + хТб^
(7.31)
Более целесообразно вьшисать эти тождества для эффективного квантового
действия Г, порождающего в теории собственные вершинные части. Для этого
выполним функциональное преобразование Лежандра
tf ^кл> <7*32>
<ув -" (7.33)
-р?п. (7.34)
310
Глава 8
X (7-35)
X -"?кп, (7.36)
z -Г, (7.37)
где теперь Лв кп, со(r)л, р(r)п, у и ?кп - новые источники,
играющие
роль полей в классическом приближении. В явном виде
Г = Z - < / в • Л(r)л + ,^кл + #КЛХ + a в"* + §врквл >.
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed