Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
величину Д~10
ЛИТЕРАТУРА
t. Dirac P.A.M., Can. Joum. Math,, 2, 1 29 (1950).
2. Gribov V.N., Nucl. Phys., B1 39, 1 (1978).
3. Faddeev L:D., Popov V.N., Phys. Lett., >25B, 29 (1967).
Глава 8
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях
§ 1. Фейнмановские правила для калибровочных теорий в евклидовом
пространстве
Будем исходить из выведенного в предыдущей главе выражения для интеграла
по траекториям для калибровочных теорий, к которому мы с целью получить
функции Грина добавим члены с источниками. Таким образом, рассмотрим в
евклидовом пространстве функционал
Vi\.]A]~$'S)AA 6{ga] det | if-'4-| e -S^M [A]+ Id*xl/Af' 0*1)
5co(r)'
Чтобы вывести фейнмановские правила, нужно переписать дополнительные
множители в мере. Прежде всего заметим, что выражение
(1.1) не зависит от калибровочных функций gr4. Поэтому можно выбрать
новую калибровочную функцию
g'A=gA-cA, (1.2)
где с А - некоторая функщя переменной х, не зависящая от ЛА , Кроме того,
можно провести в выражении (1.1) функциональное интегрирование по сА с
любым весом; это просто приведет к изменению нормировки функционала W[J
]. Калибровочная функция обычно линейна по А у, так что если мы хотим,
чтобы калибровочная функция входила квадратично в показатель экспоненты,
то рассмотрим
/ '?сА<
(1.3)
где а - произвольный коэффициент. Тогда исходное выражение примет вид
W[J]= /$ Аа det liil \е ~S (tm) ~ -TST < > +<
М 5coS '
Далее нам нужно переписать детерминант в виде функционального интеграла.
Поскольку детерминант входит в числитель, он соответствует интегралу по
траекториям, взятому по грассмановым пере-
254
Глава 8
менным: ^
i fd*xd*yr\*A{x) -- т\В(у)
det|i?!^_| = /(r)л*0Ле " У (1-5)
О со° (>)
Эти грассмановы поля - знаменитые поля-духи Фейнмана и Фаддеева -Попова,
преобразующиеся как члены присоединенного представления группы. Теперь
можно записать ФИТ в виде
/$Л*Ю Л/ЮЛ^-52ФФ s (1.6)
где
S3ФФ = SrflM + J- < gASA > -1< л*'4**) Sg П В{у) > +
E t 2" 5cos(y)
+ <J*A*>. (1.7)
Это выражение позволяет сформулировать фейнмановские правила, которые,
очевидно, зависят от выбора калибровки. Заметим, что
5g4(l. - )VBH,-y), (1.8)
5m8(y) dAC(x) 5coB(y) dAjf (x) U
и это приводит к локальному взаимодействию р-полей. Такое же выражение
справедливо и в абелевом случае, с той только разницей, что в нем
отсутствуют групповые индексы. Ниже мы будем рассматривать оба случая,
абелев и неабелев. Прежде всего рассмотрим ковариант-ную калибровку
?Л = <?цЛц = 0. (1.9)
Нетрудно видеть, что
SgA(x)
=<уац8 в+fABCAcvl)S(x-y) (1Л0)
в неабелевом случае и
(kid
в абелевом. Сравнивая с выражением (1.7), мы заключаем, что в абелевом
случае в такой калибровке духи не взаимодействуют с калибровочными
полями. Поэтому от них можно избавиться путем интегриро-
Вычисления по теории возмущений в калибровочных теориях 255
вания в интеграле по траекториям: в ковариантной калибровке (1-9) для КЭД
духи не являются необходимыми-
В неабелевом же случае выражение (1-10) указывает на наличие
нетривиального члена взаимодействия- После интегрирования по частям, если
учесть условие (1-9), часть действия, содержащая поля-духи, принимает вид
При такой форме записи грполя можно интерпретировать как скалярноподобные
поля, взаимодействующие через свой ток с калибровочными полями- Но не
следует забывать, что эти поля представляют собой грассмановы числа и
потому фейнмановские правила для них радикально отличаются от правил для
скалярных полей: всякую замкнутую петлю, составленную из р-полей, нужно
брать со знаком минус (гл. 5). Связь тока с дивергенцией калибровочного
поля антиэрмитова, тогда как остальная часть лагранжиана духов эрмитова-
Но можно пренебречь антиэрмитовой частью, так как детерминант должен
вычисляться при условии д • А = 0- Как мы увидим ниже, вытекающее отсюда
изменение фейнмановских правил для духов оказывает влияние только на
распространение продольной части калибровочного поля, которую всегда
можно устранить путем перенормировки калибровочного параметра а. Фейнма-
i д^*А(х) д^А(х) - gfABCd • Л V V -
_ ±gfABCA<;л*^рПВф
(1-12)
новские правила, учитывающие наличие полеи-духов, таковы: пропагатор духа
А
В
5 А В
(1-13)
Р -
вершина взаимодействия духа с калибровочным полем jjl С
где спиральная линия отвечает калибровочному полю А ? - Кроме того, мы
для ясности восстановили множитель g. Импульсы р, q, г входят в вершину
и, конечно, удовлетворяют уравнению закона сох-
256
Глава 8
ранения
(p + <Z + r)M = (L (1.15)
Квадратичная ч асть эффективного действия для калибровочных полей имеет
вид
fd*x [ L.(dX - - ду,А* ) + j. д"А* дрА*1, (1.16)
где мы произвели изменения в определениях А -" qA, а -> g2ос; далее,
fd*x[^__ дрАв дХ - dvAl дХ +1_ <эрл* ] =
= -L- fd*xAB [- dp(9p5pv + (1 - _L )dpdv X - Л7>
причем каждый член был проинтегрирован по частям, Пропагатор равен
обратной величине оператора в квадратных скобках, (Заметим, что в
отсутствие калибровочного члена выражение в квадратных скобках есть
