Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
записанное только через Потенциалы,
Задачи
A. Вычислите скобки Пауссона
I (Ю,- Е{ )А{х, t\К) и i (Ю. ?. )А{х, t), ($. ?. )в(у, О!
и покажите, что если удовлетворяются уравнения связи, то изменение (3)г
Еа ) во времени равно нулю,
Б, Пользуясь некоторыми результатами задачи А, покажите, что выполнены
условия интегрируемости для функнди z, определяемые как
={ ,(Ф\ Et )А(х, ОЬ
х, t)
B. Выразите гамильтониан янг-миллсовской системы в кулонов-ской и
аксиальной калибровках через соответствующие независимые канонические
переменные,
Г. Выведите уравнение движения затухающего маятника в постоянном
гравитационном поле и сравните с уравнением Грибова, Вычислите
топологический заряд (2,39) для нетривиальных решений этого уравнения,
Д. Покажите, что ,в кулоновской калибровке возможность избавиться от
продольных составляющих Ei , используя связь (Ю,- ?; ) = О, зависит от
обратимости оператора д1 ,
§ 3. Непосредственное определение янг-миллсовского ФИТ, процедура
Фаддеева - Попова
В двух предыдущих параграфах мы показали, как можно вывести янг-
миллсовский ФИТ, пользуясь классическим гамильтоновым формализмом,
Окончательный результат оказался сложным выражением,
250
Глава 7
что объясняется наличием в гамильтоновом формализме ограничений,
обусловленных калибровочной инвариантностью исходного действия.
Существует другой, более прямой способ получить это выражение -
процедура, предложенная Фаддеевым и Поповым [3].
Янг-миллсовское действие по построению калибровочно-инвариантно, т,е.
SnM [А1 = (ЗЛ)
М Iй
где
AV = UA- i Ud^, U(x) = el "(*) * T. (3.2)
Это означает, что наивное выражение (в евклидовом пространстве)
/$vs
че очень хорошо определено, если символом обозначено суммирование по всем
А даже по тем, которые связаны калибровочным преобразованием, В
приложении А мы покажем, как обойти эту трудность: нужно определить новую
меру, которая не давала бы лишних вкладов, т.е,, меру, в которой сумма
берется только один раз по всему калибровочному семейству. Грубо говоря,
мы должны отделаться от лишних интегрирований (задача, известная
математикам как определение меры Хаара).
Рассмотрим величину
А'1 [Лм] = /Ю US[gB(AV)], (3.3)
где Al - функция, определенная в формуле (3.2). Символ CS)U означает
сумму по всем элементам группы, a gB - функции, обращающиеся в нуль для
некоторых А^.Величина Д~^ инвариантна (мы пренебрегаем нетривиальными
гомотопическими классами и проблемой Грибова). Действительно, так как
А-'в uff] =/2)1/5 (3.4)
изменим переменные интегрирования и перейдем от U к U", где
?/" = и'и, Ъи" = 3)1/.
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях____________2Я
В результате получим
к']=)]=a~i иц],
(Зоб)
поскольку U"- переменная интегрирования о Таким образом, путем
хитроумного вставления 1 в наивную сумму по траекториям получаем
Выполнив в подынтегральном выражении калибровочное преобразование от < к
V , получим
если воспользуемся формулами (ЗЛ) и (Зоб), а также учтем, что и ЮЛ^
одинаковыо Но теперь ничто уже в подынтегральном выражении не зависит от
V, и можно убрать Юг/ вместе с мультипликативной бесконечностью, от
которой мы и хотели избавиться в первую очередьо Следовательно, мы
определяем правильный ФИТ для теории Янга -Миллса как
Остается вычислить Д Г Л1. Прием заключается в том, чтобы рас-
Подобные манипуляции можно производить, если замена переменных U -* g
хорошо определена и несингулярна: одному групповому элементу U(x)
отвечает только одна функция g и наоборот. Как мы видели, в ку-лоновской
калибровке это условие не выполняется (проблема Грибова).
/Юс/SCg
(3.7)
/ЮЛцд gU]/lDt/6[gBUp]]e
(3.8)
(3,9)
смотреть gA(Au) как группового элемента U(x<), Тогда
можно произвести замену переменных U(x) -" gA, Символически записывая
Юг/ = Tig det I SU | ,
s g
(ЗЛО)
SZTJ
получаем Д~1 [Л] = /Ю g det I | 5 [g],
(3.11)
(ЗЛ2)
252
Глава 7
Более того, U(x) определяется тем же числом параметров, что и g, но U(x)
может иметь нетривиальные граничные условия и принадлежать к ненулевому
гомотопическому классу" Мы игнорируем в последующем подобные проблемы до
тех пор, пока будем иметь дело с вычислениями по теории возмущений в
квантовой теории поля вдали от значения Лц = 0.
Если параметризовать U(x) функциями со (х), то Ag можно записать в виде
А [Л] = det ] ____I . (3, 13)
5 со(r) (у)
Собирая все выражения, приходим к окончательному выражению для ФИТ в
калибровочной теории (опустив индексы)
I* (ЗЛ4>
6 СО
которое совпадает с выражением, полученным с помощью гамильтонова
формализма. Это выражение калибровочно-инвариантно (см, приложение А и
задачу).
Задачи
А. Покажите, что величина Ag[A] = det | 5gV5co в| калибровочно-
инвариантна"
Б" Покажите, что окончательное выражение
/Ю Л 6 [g]det|-|f .. ¦ 1
осо
не зависит от выбора калибровки g (указания см" в приложении А)"
**В. При наличии неоднозначности Грибова величина Д~1 не существует.
Попробуйте обобщить процедуру Фаддеева - Попова, т.е. определите заново
