Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
где п • п = 1 и со зависит только от х. Тогда путем прямых вычислений
можно убедиться, что [а -индекс группы SU(2)]
д1 А°. = (1 + cos со) ( (Э; с4 д1 Па + (1 - cosw) ? аЪспь д1 dt пс +
+ sinctfd. сое0 bcnl>dinc + sinco(9'<?t-п" + w°(3I<9-w, (2.33)
Такое уравнение явно безнадежно, но мы его упростим: следуя Грибову,
ограничимся сферически-симметричными решениями, для которых
na~dar = J.L_. (2.34)
г
Тогда находим, что со зависит только от г и как следствие кулоновского
условия ф) удовлетворяет уравнению
d 2" da
-df2 + - sin 2со = 0, (2.35)
где t = In г. Из требования несингулярности U следует, что
ф =* -оо) = 0, 2тг, 4тг, . . . (2.36)
Полученное уравнение представляет собой уравнение затухающих колебаний
маятника в постоянном гравитационном поле. Граничное условие
(2.36) требует, чтобы колебания начинались при ф - - оо) из положения
неустойчивого равновесия. Затем, в зависимости от начальной скорости
грузика, возможны три варианта: 1) либо он все время будет оставаться в
положении и - 0; 2) либо он начнет падать по ч асовой стрел-
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях___________247
в предыдущем слу*;
Вдобавок к этому маятник может много раз прокрутиться и только затем
попасть в одну из трех категорий. Первое решение соответствуе! значению A
i =0, что можно было сказать заранее, но два других типа решений
соответствуют нетривиальным А{ . Существование таких Л,-и приводит к
неоднозначности Грибова. Если положить
- о • х
(2.37)
- ie
• 7 С' *
- I /СО р-
д; е
4
где / = 0, ± 1, ± 2, . . . , то значение I - 0 отвечает случаю 1, а значе
ния / = ± 1 - двум другим случаям. При г -> + имеем следующие гра ничные
условия:
V ¦
t ос
1
+ х
(У • X
при I = 0, при / = ± 1,
(2
Далее, если вычислить понтрягинский индекс для различных грибов ских
решений, то окажется, что
'0, / = 0,
п -
24ТГ2
(2.1
Таким образом, нетривиальные решения Грибова имеют топологический заряд ±
1/2 (у инстантонов +1). Такие решения явно не соответствуют обычным
конфигурациям потенциала!
Поэтому можно, вероятно, допустить, что оператор (2.28) имеет нулевые
собственные значения только для Л. с нетривиальной топологической
структурой, т.е. с п Л 0 (доказательство такого предположения мне не
известно). Таким образом, если ограничиться возмущениями вблизи нулевых
потенциалов, имеющих п = 0, то проблему можно игнорировать. Однако
решение ее все еще является открытым вопросом в тех случаях, когда
рассматриваются непертурбативные янг-миллсовские явления. По этому поводу
можно сказать лишь то, что кулоновская калибровка требуемым образом
ограничивает фазовое
248
Глава 7
пространство, но только с точностью до копий, соответствующих
/ = ± 1, ± 2 Мы вернемся к данному вопросу после того, как
рассмотрим аксиальную калибровку.
2. Аксиальная калибровка Арновитта - Фиклера характеризуется условиями
nUf ш 0, п*п,.=1. (2.40)
где п -постоянный вектор" В этом случае оператор
R J В
ni ' -"И A.KBC + fBCDAD] = nid.sBC (2.41), (2.42)
6 сос
приводится к тому же виду, что и в абелевом случае, и, по-видимому,
обратим, так что кажется, что в этой калибровке не должно возникать
проблемы Грибова (подробнее об этом ниже). Таким образом, можно обратить
уравнение связи (2.11) и, решив его относительно ЕА , получить в
результате (п. = 6{- 3)
Еа(х, у, г, t) = - / dz'{^LEL)A{x, у, z', t), (2.43)
- ОО
причем единственная ненадежная вещь здесь - граничное условие при z = -
<х> (самое слабое место этой калибровки). После этого непосредственно
находится гамильтониан, представляющий собой столь устрашающее выражение,
что приводить его здесь не стоит.
Вернемся теперь к проблеме Грибова. На первый взгляд, аксиальная
калибровка не сопряжена с неоднозначностями, обнаруженными в кулоновской
калибровке. Однако они могут скрываться в граничном условии для Е ,
необходимом для обращения nl di : Поэтому возможны два варианта: 1) либо
проблема не специфична ддя теории Янга -Миллса и дело лишь в том, что
кулоновская калибровка - неудачный выбор; 2) либо проблема коренится в
самой теории,и тогда она должна проявиться и в аксиальной калибровке, а
единственное место, где это может случиться, - пространственная
бесконечность. Никто не знает ответа, но Сингер показал, что если
определить интеграл по траекториям на сфере S 4 в евклидовом
пространстве, то грибовская проблема присуща самой теории и корни ее в
том, что невозможно обойтись одним и тем же калибровочным условием во
всем пространстве-времени. Так как нас главным образом интересуют
вычисления янг-миллсовского интеграла по траекториям по теории
возмущений, тс мы просто, будем игнорировать в дальнейшем грибовскую
проблему.
_________Интеграл по траекториям в калибровочных теориях_249
ФИТ для янг-миллсовской теории можно теперь построить в точности так же,
как и в абелевом случае, лишь с небольшим усложнением, связанным с
индексами. Мы просто приведем результат:
/$4fieiSflMUl6[e*]det|_!*-|, (2,44)
где - калибровочная функция, a S ям [ А] - янг-миллсовское действие,
