Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы выяснить смысл этого члена, вычислим скобку Пауссона 6 Ав (*, t) =
\ABi {х, 0. f d3y А?(у, t )($J. E( fly, 01cn . (2.14)
которую следует интерпретировать как изменение переменной А.в при
бесконечно малом преобразовании, вызываемом дополнительным членом.
Пользуясь соотношением (2.10), находим, что
5А.В (х, t) = - д; Ав0(х, р) - fBCDAC (*, t)AD0{x, t), (2.15)
что представляет собой калибровочное преобразование. Следовательно, как и
в абелевом случае, дополнительный член в гамильтониане Н осуществляет
калибровочное преобразование с калибровочным парат метром Ав .
Нетрудно видеть, что производная по времени от связей (2.11) сама
пропорциональна этим связям (см. задачу). Следовательно, никаких других
связей быть не может.
Как и ранее, мы принимаем, что функции Ав и Ев являются физическими, если
их изменение при бесконечно малой трансляции во времени не произвольно,
т.е. если
{/, (Si Е. )sicn = 0 при ($. ?. )в = 0. (2.16)
Далее, СП всегда можно рассматривать как интегральный оператор
-(r)-------- "{ ,($ Eiflx, t)}, (2.17)
Szfi(x, г)
если выполняется условие интегрируемости
f s s_______________s 0 (2Л8)
бг^ТТР Szc{y, t) Szc{y, t) 6zB(x, t)
Пользуясь тождеством Якоби и СП между двумя величинами 3)i ?.
(при равных временах), нетрудно показать, что это условие действительно
выполняется (см. задачу). Таким образом, наше физическое подпространство
может быть определено двумя условиями
(2). Е.)Я" 0, 1 ,($.?,• )в) = 0. (2.19)
Эти условия соответствуют переходу от функционального пространства,
покрываемого функциями А? и е\ (i = 1, 2, 3), к функциональ-
244
Глава 7
ному пространству, покрываемому функциями ^ , I(r) и Ев, в подходящим
образом выбранном базисе.
Можно также описать это подпространство иначе, заменив неудобное условие
с СП другим набором условий
gB{A^{x, t), Ef(x, ?))= О, (2.20)
которые мы называем калибровочными условиями. Такое измененное
определение не должно включать какие бы то ни было сингулярные замены
переменных, связанные с переходом от функций zc к функциям qci т.е.
(функционально)
det| j?^| =det|igC, ($•?,.)* 11 *0. (2.21)
5z °
Это условие необходимо для того, чтобы функция gB описывала желаемый
выбор калибровки. В противном случае она не будет фиксировать калибровку.
Предполагая, что условие (2.21) выполнено, поступим несколько умнее и
ограничимся таким выбором калибровок, которые удовлетворяют (вновь при
совпадающих временах) условию
Us"gC!Cn=°* (2.22)
Тогда мы можем рассматривать gB как каноническую переменную. Рассмотрим
каноническое преобразование
(ABt , ??)-.(*?, Щ), (2.23)
где индексы j используются просто как метки и не обязательно
преобразуются как векторные индексы при вращении, а
^="В(^,Ег). (2.24)
Теперь условие (2.21) принимает вид
Л И ¦ / Л
det I -щ | 4 о (2.25)
так как переменные с тильдой сопряжены друг другу. Если мы теперь положим
gB = Л в = 0, то уже невозможно придать смысл СП (2.10), включающей Ев.
Это означает, что Ев нужно выразить через остающиеся переменные. Но
именно это и позволяет сделать условие
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях
245
(2.25): с его помощью можно разрешить уравнение связи (2.11), выразив Ев3
через остальные переменные. Таким образом, янг-миллсовская система
определяется теперь в независимых переменных = (1(r), а\) и (Ёв, Ёв2)
плотностью гамильтониана
Н= i_ [Ё1Ё{ +[ЁЛ3(ЁГ, А±)]2+Bjej], (2.26)
где Е\{Е±, Al) - функция, являющаяся решением уравнения связи (2.21), а Щ
даются формулами (2.5) и (2.3). Не стоит и говорить, что теперь
гамильтониан Я стал очень сложным, так как помимо того, что он нелокален,
он еще содержит кубичные и квадратичные члены взаимодействия.
Приведем теперь примеры часто встречающихся калибровочных условий.
1. Кулоновская калибровка, определяемая, как и в абелевом случае,
условием
#АВ = 0. (2.27)
Как нетрудно видеть, для того чтобы равенство (2.27) было хорошим
калибровочным условием, оператор
д1
6 Af
бсо
JT- =а*' Ц. SBC ~fBDC А?) (2.28)
не должен иметь нетривиальных нулевых собственных значении. Учитывая
(2.27), перепишем (2.28) в виде
Овс = didi 5ВС + fBCDADidi . (2.29)
Недавно Грибов [ 2] указал на то, что существуют нетривиальные решения
уравнения
QBCf с = 0 (2.30)
и потому кулоновская калибровка не является хорошо определенной для янг-
миллсовских теорий в том смысле, что она не позволяет однозначно извлечь
независимые канонические переменные. Но и в этом безумии есть свой
порядок: совсем не просто прийти к потенциалам А? , удовлетворяющим
кулоновскому условию, для которых оператор
(2.28) имеет нулевые собственные значения. В качестве примера,
246
Глава 7
иллюстрирующего эту проблему, рассмотрим потенциал (в матричных
обозначениях)
A. =~iUT^U; д1 А. =0. (2.31)
Если бы условие (2.27) было достаточным для фиксации калибровки, то мы
должны были бы иметь возможность доказать, что единственным решением
уравнения (2.31) является = 0. Ограничимся случаем группы SU(2) и напишем
U = cos ^ + i а " пsin -2 , (2.32)
