Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
от переменных с тильдой к переменным без тильды. Единственно, что при
этом произойдет (помимо отбрасывания тильды), это превращение Л3 в
калибровочную функцию g. После этого ФИТ примет вид
Проинтегрируем, наконец, по тг; . Заметим, что, интегрируя по частям член
Л0<9' тг; , можно переписать показатель экспоненты в виде
где S [ Л] -максвелловское действие, выраженное через потенциалы.
Полагаем теперь
и производим замену переменных. Если g не зависит от тт, то такая замена
переменных не влияет на g и на скобки Пуассона. Следовательно, эти
величины можно вынести из-под знака интеграла по тт, сохранив при этом
интерпретацию СП как бесконечно малого изменения функции g в результате
калибровочных преобразований. Интегрирова-
(1.47)
-К + А0д1 тг?- ]
(1.48)
1
1
(1.49)
Дополняя до полного квадрата, получаем
/ФЛ^ М /Ф it, б [g] det| { д*' тт,- , g|cn| в
- д0Л,+ .д,Л^
(1.50)
=тт-д0А, +<9;Л0
(1.51)
240
Глава 7
ние по тт' дает бесконечную постоянную, которую мы игнорируем.
Окончательный результат имеет вид
/$Л ц5 tel det | J*_| (1.52)
О СО
где S [Л] - максвелловское действие, g - калибровочная функция, а 5g/5co-
ее изменение при бесконечно малых калибровочных преобразованиях. Применив
эту формулу к случаю кулоновской калибровки, получим
[di Л.] det | д2\ ей, (1.53)
и при этом видно, что детерминант не содержит какой-либо зависимости от
А; следовательно, его можно включить в нормировку. Заметим, что входящая
линейно в S переменная А0 приводит после интегрирования к функциональной
6-функции. Это показывает, что А0 не является динамической переменной,
хотя часто можно встретить утверждение, что условие А0 = 0 представляет
собой калибровочное условие (это не так!). Но если мы все-таки
требуем выполнения условия А0 = О,
то мы теряем ограничение <9* тг^ = 0 (теорема Гаусса),
которое затем
должно быть восстановлено.
В заключение заметим, что можно определить ковариантную калибровку
с^Лм = 0, (1*54)
которая действительно представляет собой калибровочное условие, так как
содержит динамическую переменную A i.
Задачи
А. Рассматривая <р, , <р2 и х как канонические поля, выполните
каноническую процедуру применительно к действию
S = Jd4x [ д^2д^г + шХ(ф21 + Ф22)1
и определите соответствующий интеграл по траекториям.
Б. Проанализируйте применимость равенства Ai = т2 в качестве
калибровочного условия и запишите соответствующий интеграл по траекториям
для электродинамики в такой калибровке.
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях___________241
В. Повторите предыдущую задачу для калибровочного условия
Г. Рассмотрите условие 0 = fdz- Л(г, t), где интеграл берется по
некоторой кривой С. Можно ли использовать его в качестве калибровочного
условия?
§ 2. Гамильтонов формализм для калибровочных теорий, неабелев случай
Исходя из янг-миллсовского лагранжиана, можно повторить все рассуждения
предыдущего параграфа и прийти к очень похожим результатам. Но мы начнем
все же с формализма первого порядка, в котором Fuv и Ац считаются
независимыми переменными, а действие S [ F, А] берется таким, чтобы FMV
можно было выразить через исходя из уравнения движения. Итак, возьмем
действие в виде
Ясно, что вариация такого действия по приводит к уравнению
(3.2) из гл. 6, но Гци не имеет динамического смысла, так как не имеет
производной по времени; это всего лишь вспомогательное поле. Однако при
такой форме действия его легче переписать в виде, не содержащем
квадратичных по временным производным членов. Введем "электрическое" и
"магнитное" поля
S-- -V- /^4*Sp(J_ FUVF^-^Ца -44, + av А,])).
S *
(2.1)
(2.2),(2.3)
или, альтернативно, Fij
(2.4)
Используя уравнение движения
Fij = di Aj - dj Aj + i [At , Ai ],
(2.5)
можно переписать 5 в виде
+ i [Я0, Ai ])] =
(2.6)
242
Глава 7
= ~ _L_ /d4xSp[B; Bt +Е{Е{ -2ЕД -Ё*
-2А0(д{ Е{ + i \.At , Et ])], (2.7)
использовав циклическое свойство следа и выполнив интегрирование по
частям. Переписанное таким образом действие S легко преобразуется к
гамильтоновой форме. Взяв след, получаем
s = jTdMEfi? - _1_(Е?Е? +Bj Bj ) + AB0 (3). Е,.)в],
(2.8)
где ?f - канонический импульс, сопряженный с Ai (точка означает
дифференцирование по времени), А% играет роль лагранжева множителя, а
((r). ?. )в . 5. Ев{ + fBCDAci Е?. (2.9)
Динамическими переменными являются Е| и /if , для которых мы постулируем
следующие фундаментальные скобки Пуассона при совпадающих временах:
Mf(x, t). *Нсп = 5BC5f/.5(x .-у), (2.10)
причем все остальные СП при совпадающих временах равны нулю. Не все из
этих переменных независимы, так как они должны удовлетворять уравнению
связи
($,- Ei )В - Э; Е? +1вс°АСЕ? = 0 , (2.11)
получаемому варьированием по А В , Уравнения движения имеют вид
df
dt
где
-и. H0\cn+{fJd3xAB (X, 0((r). ?.)"(*, 0!СП. (2-12)
Я0 = f d3x[Ef Ej + Bf B^ ]. (2.13)
Таким образом, как и в предыдущем параграфе, изменение во времени
содержит дополнительный член, обязанный лагранжеву множителю.
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях___________243
