Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь уравнением (1.6) и соотношениями (1.4), можно увидеть, к какого
типа изменениям приводит этот дополнительный член:
5Ло =U0, Ндоп!сп=0, БЛ,- =Uy, HflonUd;G. (!ДЬ (1.19)
Следовательно, он осуществляет постоянное во времени калибровочное
преобразование; функция G не должна зависеть от t, Таким образом,
изменение канонического формализма привело к гамильтониану, который,
определяя эволюцию системы во времени, производит при этом калибровочные
преобразования. Включив А0 в G, можно переписать наш новый и
окончательный гамил ьтониан в виде
йнов = Ffj F4 - 4" ^ ^ + Gdi ^ 1 • П>20)
Заметим, что член с тг 0 выпал из выражения (1.20), поскольку Янов уже
более не зависит от AQ . Теперь мы в состоянии описать получившуюся в
результате физическую систему" Пусть / - любая функция переменных A i и
тт,- . Производная этой функции по времени определяется выражением
/' = }/, Янов1сп (1.21)
и содержит произвольный вклад, связанный с членом <9,- -п-1 . Это неприем
лемо, так как изменение физической величины во времени не произвольно
Поэтому мы потребуем, чтобы выполнялось равенство
1/физ. I =°, (1.22)
которое означает, что функция /физ не должна зависеть от переменной,
236
Глава 7
сопряженной с (?¦ тт ' " Другими словами,физическая величина должна быть
определена только на некоторой поверхности в плоскости (Л,- > чт? ).
Такую поверхность всегда можно описать уравнением
g(A., тт? ) = 0, (1.23)
подразумевая при этом, что замена переменных g-> z, где г - переменная,
сопряженная к д? тт* , несингулярна, т.е.
det|ii-| = det)\g, dirti i сп | ,^ 0, (1.24)
где использовано определение СП" Отметим, что z определяется формулой
6 =fd*x Щ )Ь) 5 ={ (1.25)
Sz(y) 5тт j(x) 5А1(х)
Физический смысл соотношения (1.25) ясен: производная <?? тт* порождает
калибровочные преобразования, а функция g должна быть способна
зафиксировать калибровку.
Предполагая, что условие (1.24) выполняется, можно произвести
калибровочное преобразование
(Ai > Щ ) ¦* (¦? " Ч )> в котором мы положили
^Ai' ) = Ау (1>26)
Далее, так как Ai и тт^- - сопряженные переменные,
й д[д1 ттf ]
а.,1" -----------
I I
_ 52 SU'4 ] ""'*(]
Ж-Щ 'cn-to-щ (l-ZD
I J 3
представляет собой просто якобиан преобразования ditri -> тт"3. Если он
несингулярен, то можно разрешить уравнение <9* тг = 0 с целью выразить
тт3 через оставшиеся переменные. Заметим, что при таком преобразовании
гамильтониан не меняется. Приведем примеры.
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях
237
1 .Кулоновская калибровка определяется условием g = diAi . (1.28)
Образуем детерминант
det ( д' Ai , "9/Тг/1Сп =det[^i^y5(x-у)], (1.29)
который следует понимать, как произведение собственных значений оператора
Лапласа di д1 . Хорошо известно, что у этого оператора нет нулевых
собственных значений, кроме постоянного решения, которое мы исключаем
подходящим выбором граничных условий. Следовательно, кулоновская
калибровка удовлетворяет нашему критерию хорошей калибровки. Это
означает, что можно, пользуясь уравнением д1 Ttj. = 0, выразить
сопряженную к (1.28) переменную через оставшиеся канонические переменные.
Опуская тильду над буквами, напишем
TTi + TTf, A^A^+Aj, (1.30) ,(1.31)
где по построению дивергенция поперечных мод равна нулю:
РттТ =di АТ = (1.32)
Тогда кулоновская калибровка записывается как
а\ = о, ;i -зз)
а связь (1.16) принимает теперь вид
<?*' irf ,а*' <9t. ф = 0, (1.34)
если выразить -nL. через ф. Именно обратимость оператора Лапласа
позволяет нам положить ф = 0. Таким образом, в этой калибровке у нас
остаются канонические переменные ixjи aJ с равной нулю дивергенцией.
Гамильтониан, выраженный через эти Переменные, имеет вид
238
Глава 7
как
2. Аксиальная калибровка Арновита - Фиклера определяется
g = A 3 = 0. (1.37)
В этом случае условие для детерминанта имеет вид
det [_?_б(*-у)].^ 0, (1.38)
дх3
и оно выполняется, поскольку оператор д]дх3 обратим- Следовательно, можно
найти тт3 пользуясь уравнением (1.16). В результате имеем
тт3(х, у, Z, t) = -f dz'{д'ТГ, +<э2тт2)(х, у, z', t), (1-39)
- 00
где мы (произвольно) наложили граничное условие на тт3 - Теперь
система описывается каноническими переменными А,, Л2, тг, , тт2
и (нелокальным) гамильтонианом
Я = _1- f d3x[Bf + В2, + В| + тг2 + тг2 + тт!(тт, , тг2)], (1*40)
в котором тт3 определяется формулой (1-39), а
В1 = -"?3Л2, В2 = д3Аи В3 = (д,А2 -дгА,). (1-41)
Теперь уже легко записать ФИТ- Пусть AL и ttj. - независимые переменные-
Тогда ФИТ имеет вид
= / . (]>43)
гДе тг3(тгА) - функция тт3 , выраженная через поперечные переменные путем
обращения соотношения (1.16). Теперь
6[т?3 - тт^(тг^)] = 6[<91 тт; ] det | {д' тт, , -d3}cn|, (1*44)
5[^*тт^- ] = /3)Л0е* /^отт* (Ь45)
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях___________239
Это позволяет переписать (1.43) в виде
(1.46)
Мы добавили (без всяких последствий из-за наличия 5[Л"3]) член тг3Л^ в
показателе экспоненты, так что теперь гамильтониан
содержит все компоненты . Выполним обратное каноническое преобразование
