Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 70

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 98 >> Следующая

в этом случае евклидов Sl/(2) -потенциал дается выражением
где U = -= - (х0- гх ¦ а), (3.49)
причем сг -матрицы действуют в пространстве SU{2), а
х2 = х2+х.х. (3^0)
Это решение удовлетворяет требованию (3.39) для конечного действия (Л2 -
константа). Можно показать, что данное решение само дуально, а из вида
оператора U следует, что понтрягинский индекс равен +1.
Заметим, наконец, что в янг-миллсовских теориях те функции, которые
преобразуются под действием калибровочных преобразований, вообще говоря,
нельзя считать постоянными, поскольку им всегда можно путем
калибровочного преобразования придать зависимость от х. Ближе всего к
понятию постоянной функции понятие ковариантной пог. стоянной, которая
определяется как функция tp, удовлетворяющая условию
где опущены все групповые индексы. Решая это уравнение относительно (р,
мы обнаружим очень интересный объект - упорядоченный интеграл по
траекториям. В самом деле, заметим, что
<р(х + dx) = ф(х) + dx^,p + ... , (3.52)
где dxu - произвольно малое смещение. Используя условие (3.51), получаем
ф(х + dx) = ф(х) - idx^A^x) + . . . * <?-"i*M/1n<p(x) + 0((dx)2). (3.53)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса
229
Так как при калибровочных преобразованиях
ф(х) -> U(x)<p(x), (3.54)
из формулы (3.53) следует, что
, Ц .
* j \ХА -t ах Ап(х) j,
e~,dx ^ и(х + dx)e (7*(х). (3.55)
Это и есть то фундаментальное соотношение, которое нам нужно. Теперь
можно проинтегрировать уравнение (3.51), итерируя по смещениям: ф(у)
можно получить из ф(х), взяв малые смещения вдоль кривой, начинающейся в
точке'х и кончающейся в точке у, так что
_ Ф • А
9 {у) = (Ре х М*), (3.56)
где введено обозначение для "упорядоченной по траекториям экспонен-
ты"
Pe-ifdx. л _ п _ idxc t A(x^t (3>57)
k
причем dxk - смещение от точки хк на кривой С (рис. 8). Из формулы (3.55)
следует соотношение у у
-< f dx • A -i$ dx • А
Ре -* U(y)Pe Х t/1" (х). (3.58)
В частности, упорядоченная по траекториям экспонента вдоль замкнутой
траектории преобразуется как локальная ковариантная величина:
Pe-i$dx-A _ u{x)pe-ifdx- (х), (3.59)
так что ее след калибровочно-инвариантен. Он представляет собой
функционал от траектории. Заметим, что из условия (3.51) вытекает
равенст-
Р и с в.
230
Глава 6
во нулю напряженностей поля. Однако ничто не мешает рассматривать
упорядоченный по траекториям функционал для любого поля А .
Мы не касались многих .других аспектов классической янг-миллсов-ской
теории, например решений в виде монополей, обобщения инстантон-ных
решений, меронных решений с бесконечным евклидовым действием (но конечным
действием в пространстве Минковского и сингулярными источниками) и т.п.
Увы, нам нужно двигаться вперед и подумать о том, как определить
квантовую янг-миллсовскую теорию.
Задачи
А. Покажите, что полевая конфигурация Af = А\ = 0, Ав = Ав ~ XjFf (х°
+ х3) + х2р\(ж0 + х3),
где F(r) 2~ произвольные функции, является решением'янг-миллсовских
уравнений движения [4]. Сравните эти решения с решениями в виде плоских
волн в максвелловской теории.
*Б. Проанализируйте анзатц By - Янга для 5?/(2)-инвариантной янг-
миллсовской теории
ю - - г~' 1 г г2
где С - есть 5{/(2)-индекс, С = 1, 2, 3, а г - длина вектора положения х.
(Напомним, что в группе SU(2) коэффициенты f^sc _ ? авс^ т>е> это тензор
Леви-Чивиты.) Выведите уравнения, которым должны удовлетворять
коэффициенты / и g. Покажите, что этим уравнениям удовлетворяют значения
f = 1, g = const. Найдите для такого решения потенциал и полевые
конфигурации, вычислите плотность энергии и энергию.
В. Покажите, что в случае 5[/(2)-калибровочной теории из анзатца 'т
Хофта - Корригэна - Фэрли - Вильчека для потенциалов, выраженных через
одно скалярное поле <р,
=- Af = -i- [6?309 - е,С;<Э,-ф]
вытекает, что ф удовлетворяет уравнению движения теории \Ф4, где а. -
произвольная константа.
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Мимса 231
Г. Покажите что нетеровский тензор энергии-импульса для евклидовой янг-
миллсовской теории может быть записан в виде
0 = i (Е(r) + Е(r) WE(r) Е*(r) \
(jv 2g2 up upvр ~ Лф'*
Д. Определите, как изменяется W при калибровочном преобразовании, и
покажите, что производная калибровочно-инвариантна.
Е. Вычислите след упорядоченной по траекториям экспоненты вдоль замкнутой
петли для инстантонного решения, о котором говорится в тексте. Выберите
простую траекторию, которая вам покажется удобной.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yang С.М., Mills R., Phys,Rev., 96, 191 (1954).
2. Mother E., Nachr. KgL Ges. Wise., Gottingen, 235 (1918).
3. Belavin A., Polyakov A., Schwarz A., Tyupkin Yu., Phys. Lett.,
59B, 85 (1975).
4. Coleman S., Phys. Lett., 70B, 59 (1977).
Глава 7
Интеграл по траекториям в калибровочных теориях
Определение ФИТ для калибровочных теорий связано с трудностями особого
рода- Как мы только что видели, в таких теориях действие инвариантно по
отношению к преобразованиям, зависящим от простраст-венно-временных
координат: = 5[Л' J " Поэтому бездумное ин-
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed