Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
конечной энергией, но они содержат некоторые сингулярности и
8 fd4x Sp(^y ц) = _ f d4x Sp(J ^б^со) = l^xSpM^), (3.29)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса
225
потому требуют существования сингулярных источников (см. задачу).
Янг-миллсовское уравнение движения в евклидовом пространстве чрезвычайно
содержательно. Евклидово пространство можно рассматривать как
пространство Минковского с мнимым временем, а в квантовой механике
процессы эволюции в мнимом времени формально соответствуют процессам
тунеллирования, происходящим мгновенно в действительном времени. Поэтому
Хофт назвал несингулярные решения янг-мил-лсовского уравнения без
источника в евклидовом пространстве инстн-тонами. С другой стороны, мы
уже видели ранее, что ФИТ может быть лучше определен в евклидовом
пространстве. Поэтому изучение решений в евклидовом пространстве вдвойне
интересно.
Следуя Белавину, Полякову, Шварцу и Тюпкину [ 3], остановимся на решениях
в евклидовом пространстве, имеющих конечное действие.
В евклидовом пространстве
SP[<Fm. -К*)]> °' <3-30>
поскольку это сумма квадратов. Следовательно,
SP< Vmv + VMV) > 2SP<Fnv (3.31)
откуда в силу соотношения
MVfuv) = sp(Vnv) <3-32)
приходим к неравенству
SPFHVFUv > SPFnvFtn/' (3"33)
которое после интегрирования устанавливает нижнюю границу значения янг-
миллсовского евклидова действия. Ясно, что знак равенства достигается,
когда
FMV = (3.34)
что соответствует самодуальным решениям. Антисамодуальные решения также
соответствуют нижней границе. Нетрудно показать, что самодуальным и
антисамодуальным решениям соответствует равный нулю евклидов тензор
энергии-импульса, (см. задачу). Интеграл от правой части неравенства
(3.33) можно переписать в виде интеграла от дивергенции [формула (2.41)]
fd\ 5Р(^/цу)"4/^ (3.35)
226
Глава 6
где
2 i
" Enwp<j [^v^p^a + 3 ^v^p^cr-l" (3.36)
так что
sr • 572 ld'x s>V", > -jr * d\\- <3-37>
где последний член проинтегрирован по граничной поверхности на евклидовой
бесконечности. Следовательно, минимальное значение действия будет
зависеть от свойств калибровочных полей на бесконечности.
Чтобы действие SnM было конечным, поля F^(r) должны достаточно быстро
убывать на евклидовой бесконечности:
Г°> <3-38>
I * h°°
а это в общем случае означает, что А стремится к конфигурации
V -'4L/t при (3.39)
получающейся из А^ = 0 в результате калибровочного
преобразования;
значит, Fpy = 0.
Напомним теперь, что действие S^M ограничено снизу величиной, полностью
зависящей от поведения потенциалов на евклидовой бесконечности.
Действительно, подставляя (3.39) в (3.36), мы видим, что на поверхности 5
\ - j-w<3-40>
причем мы учли антисимметрию по р и ст и условие VU^= 1. Следовательно,
S?M > (3.41)
что полностью зависит от группового элемента U(x)\ Мы пришли к
примечательному результату: минимальное значение евклидового действия
зависит только от свойств оператора U{x), а не от деталей полевой
конфигурации при конечных х.
Рассмотрим конкретный случай группы 517(2). Тогда групповые элементы U{x)
зависят от трех параметров, которые мы обозначим
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 227
через <р2, ф3, и которые сами зависят от х. Поверхность же интегрирования
S - это сфера очень большого (бесконечного) радиуса. Следовательно, мы
можем воспринимать V как отображение между тремя групповыми параметрами и
тремя координатами, задающими нашу сферу, т.е. отображение трехмерной
сферы в трехмерную сферу. Подобные' отображения характеризуются своим
гомотопическим классом. Грубо говоря, гомотопический класс соответствует
тому, сколько раз одна сфера накрывает другую. Например, гомотопический
класс, равный 1, означает, что сфера S " на евклидовой бесконечности
только один раз накрывает сферу S 3 группового множества, помеченного
углами <р,- .
В общем случае гомотопический класс п означает, что п точек сферы S"
отображены в одну точку сферы S3 и т.д.
Если положить
з д<р" д
V ----17* =д^адаи\ (Зл2)
о = 1 дх дф v то
то получим
S?M > -1ГГ $ rf3Vuvpa ^(иэаи^идьи^идси^ ),
(3.43)
или, с учетом антисимметрии символа в,
5?М ~Чг f d4Epvp=iav91V2aa<!,3SP(t''5lutu,?2fftU(93ut)-
Е <Г (3.44)
При такой форме записи ясно виден якобиан преобразования между
переменными, задающими поверхность S, и углами <рц . Но, как мы только
что говорили, такое отображение характеризуется своим гомотопическим
классом п, если сфера S(tm) ^-кратно отображается на групповое множество
SU(2). Параметризуя V, скажем, углами Эйлера, можно путем простых
выкладок получить, что
<3-45)
S
где п - целое число
fd4x Sp (F F ), (3.46)
16
ТТ
называемое понтрягинским индексом "
228
Глава 6
Таким образом, евклидовы решения с конечным действием помечены своими
гомотопическими классами, которые определяют нижнюю границу (евклидова)
действия. Эта нижняя граница достигается в том случае, когда полевые
конфигурации либо дуальны, либо антисамодуаль-ны, т.е. когда
F = ±F . (3.47)
UV дч ' '
Рассмотрим в качестве примера первое из найденных инстантон-ных решений;
