Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
матриц Тв,
S(tm)=--Lfd4x(FBvF"vB), (3.6)
где теперь ?"у= дрАв - dvAB - / BCDAсцА°. (3.7)
Отсюда следует, что
g2S(tm) = Jd4x[_ _Lд ABd"AvB + \-д"Авд"А"в +
+ gfBCDA(^A^dllAvB~ ¦M-fBCDfBEEA^AB2AliEAvF- (3.8)
\л v а И V
Как нетрудно видеть, первые два члена - того же типа,что и в
максвелловском лагранжиане (не считая суммирования). Однако два следующие
члена указывают на то, что векторные поля обладают весьма нетривиальными
кубическим и квартичным взаимодействиями друг с другом.
Вывод уравнений движения легче всего провести в матричной форме. Начнем с
вариации действия
SS =" 5F|1W), ' (3.9)
г
222
Глава 6
где б Fpv = (91Д5ЛУ + t'6/ll4v + (Л^бЛ'' - (р -v).
(3.10)
С учетом антисимметрии поля F^v имеем
6S = - - Jd*x Sp[F(jv(dlJ64v + гбЛ^ + г'Л^бЛ v)].
<Т
(3.11)
Затем мы интегрируем первый член по частям, отбрасывая поверхност ный
член, поскольку вариации обращаются в нуль на границах. Учитывая свойства
цикличности следа, приходим к выражению
откуда и получаются в матричной форме уравнения движения
Так как F^y преобразуется по присоединенному представлению, это уравнение
можно непосредственно записать через ковариантную производную в виде
откуда видно, что само уравнение ковариантно. Вдобавок поля удовлетворяют
кинематическим ограничениям (Бьянки) (как и поля F в электромагнетизме)
представляет собой тензор, дуальный тензору F . Подчеркнем, что уравнение
(3.15) не является уравнением движения, так как оно тривиально решается
путем выражения F^v через потенциалы.
Из уравнения движения (3.13) явствует, что можно ввести некий
сохраняющийся ток ;v; действительно, величина
что приводит к сохраняющимся зарядам (записанным в матричной фор-
SS= 2-fd4x Sp [ (<?MF + i [ Лц, F )) 5ЛЧ,
g
(3.12)
(3.13)
(3.4)
(3.15)
где F = y2E Fpc
\AV ЦУр<7
ЦУрС7
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 223
Me QATA)
Q = fd3xj0 = _ fd3xd*Fi0 = - ^dV'F.0.,
(3.19)-(3.21)
где последний интеграл берется по бесконечно удаленной пространственной
поверхности. Хотя у тока jv ужасные трансформационные свойства по
отношению к калибровочным преобразованиям, заряды Q, как это видно из
(3.21), преобразуются очень просто по отношению к весьма широкому классу
калибровочных преобразований. Из формулы (3.21) получаем
где U - операторы, заданные на граничной поверхности на бесконечности,
Следовательно, потребовав, чтобы операторы U были постоянны в
пространстве на пространственной бесконечности, мы можем вынести их из-
под знака интеграла по поверхности и получить ковариант-ное
преобразование сохраняющихся зарядов. Добавим, что выписанный нами ток
совпадает с нетеровским током, полученным каноническими методами.
Можно ввести взаимодействие в янг-миллсовскую систему, добавив к Хям член
вида
где /ц(х) - внешний источник, записанный здесь в матричной форме
На основании этого уравнения мы можем для сохранения ковариантности
уравнения движения требовать, чтобы источник / преобразовывался
ковариантно:
Более того, как нетрудно показать, источник J и обязан ковариантно
Q -* Q' = - fd2aiUFiQu\
(3.22)
Гd4x Sp (1ц/и),
л- ^
(3.23)
(3.24)
Тогда уравнение движения примет вид
(3.25)
jv-Ujvtf.
(3.26)
224
Глава 6
сохраняться в силу уравнения движения (см. задачу)
(3.28)
(3.27)
Теперь, если вернуться к рассмотрению дополнительного члена
(3.23), мы увидим, что он не инвариантен по отношению к калибровочному
преобразованию. Предполагая, что источник преобразуется ковариантно,
находим
и это означает, что можно восстановить инвариантность, если внешний
источник / м сохраняется. В максвелловской теории в этом месте не
возникает проблем, поскольку при изменении калибровки источник /ц не
преобразуется. В янг-миллсовской же теории утверждение д^] ц = О не
ковариантно. Иначе говоря, подобная связь с источниками разрушает
калибровочную инвариантность. Это не должно вызывать удивления. В конце
концов, если обратить наше предыдущее построение, то станет ясно, что
способ калибровочно-инвариантного описания взаимодействия заключается в
добавлении кинетического члена для полей, из которых состоит источник J
ц. Внешний нединамический источник для этого не годится.
Конечно, нельзя запретить исследовать решения классических уравнений
(3.25) совместно с условием (3.27), но мы лишь заметим, что связывание
янг-миллсовских полей с нединамическими внешними источниками
представляется сомнительным занятием.
Вернемся к уравнениям движения (3.14) без источника. В пространстве
Минковского существует много решений этого уравнения. Как и в
электродинамике, имеются решения этого уравнения в виде плоских волн (см,
задачу). У них бесконечная энергия (но конечная плотность энергии).
Однако в противоположность максвелловской теории из-за нелинейного
характера теории Янга-Миллса такие решения нельзя налагать друг на друга
с тем, чтобы получить решения с конечной энергией, несмотря на то что
плоские волны движутся в одном направлении.
Существует много других очень интересных решений этого уравне ния с
