Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
внимание на тех /V2 - -1 полях, которые появились в связи с локальной
SU{N) -инвариантностью. Прием, используемый при построении кинетического
члена, инвариантного по отношению к преобразованию
(2.15), заключается в том, чтобы при образовании различных выражений
применять ковариантную производную ,
Рассмотрим эрмитов опреатор
Он, конечно, преобразуется ковариантно, поскольку так преобразуется
оператор 3) , т.е.
Подставляя выражение (2.12) для в фундаментальном представлении и опуская
поле В , находим
Так как F^v(x) - эрмитова бесследовая N х (V-матрица, ее можно разложить
по матрицам Тв:
причем мы использовали формулу (2.13) с отброшенным Р^ и формулу
(2.23). Конечно, величины F^v - это янг-миллсовское обобщение
напряженностей поля в электромагнетизме. Не все они независимы, так как
подчиняются тождествам Бьянки
в которых операторы действующие на Рцу следует понимать в смысле
соотношения (2.26), так как величины 'рцу преобразуются по
присоединенному представлению группы SU(N). Указанные тождества являются
прямым следствием тожества Якоби для ковариантной производной
(2.28)
^у(*Ь1/(х)РМУ(х)[/!(х).
(2.29)
(2.32)
(2.31)
(2.33)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 219
Они представляют собой просто кинематические ограничения, которым
тривиальным образом удовлетворяют напряженности поля.
Теперь уже легко построить инвариантный кинетический член. Он имеет вид
-2pSP<V"'> (2-ад
при условии нормировки (2.19) для Т-матриц; это выражение есть обобщение
максвелловского лагранжиана и, как нетрудно видеть, имеет должную
размерность (константа связи g безразмерна).
Заметим, что лагранжиан ?ям не зависит от конкретного представления
фермионов и поэтому сам по 'себе описывает весьма нетривиальную теорию.
Кроме того, выбирая структурные функции fABC, отвеч 1Ю-щие другим группам
Ли, мы можем получить соответствующие янг-мил-лсовские теории для этих
групп Ли.
Вдумчивый читатель может задать вопрос, почему мы не рассмотрели другой
инвариант
/ =S P^vpa^vFpa (2.36)
в качестве возможного кинетического члена. Ведь он лоренц-инвариан-тен,
калибровочно-инвариантен и имеет правильную размерность. Дело в том, что
его можно представить в виде полной дивергенции. Действительно, напишем
/ = 4е Mvp°rSp([(?tji4v + (' АрА"][дрАа + i АрАд ]) = (2.37)
= fc^SpO^VA + Ш^дрАс), (2.38)
где член с АААА исключен в силу свойств цикличности следа. Далее
E^P'Sp (^VpV = ;|46"UPaSP(VHab (2.39)
так что, поскольку е д dpAv = О,
/ = + lic4^v]|. (2.40)
Таким образом, получаем
220
Глава 6
(2.42)
Это означает, что, взяв / в качестве кинетического члена в лагранжиане,
мы не смогли бы получить какое-либо уравнение движения для А так как этот
член влиял бы на действие только в концевых точках. Однако этот член
можно добавить к ?ям, что приведет к каноническому_ преобразованию поля А
A. Пусть задано вейлевское поле, преобразующееся по представлению 6
группы SU(3). Постройте с помощью матриц Гелл-Манна SU(3)-ковариантную
производную, действующую на это поле.
Б, Покажите, что Sp[t/1'(х)д^и(х)] = iNd а(х).
B. Покажите, что если функция со преобразуется по присоединенному
представлению группы SU(N), то ее ковариантная производная дается
выражением = <?цсо+ i [Лц, со], где - матрица калибровочных полей, и
преобразуется так же, как ел.
Г. Исходя из свойств калибровочного преобразования поля А , покажите, что
напряженность поля = д^ + г [Лц, Ли] дей-
ствительно преобразуется по присоединенному представлению группы SU{N)..
Д. Взяв лагранжиан ? = фтдцФ, где Ф(%) - вектор-столбец из N
Действительных скалярных полей, обобщите его так, чтобы он стал локально
инвариантным по отношению к группе SO(N), повторив описанную в тексте
процедуру. Сколько нужно ввести векторных полей9 Покажите, что бесконечно
малое изменение этих полей при преобразованиях группы SO(N) также можно
выразить через ковариантную производную, действующую на калибровочные
параметры.
В данном параграфе мы исследуем классические свойства янг-мил-лсовского
действия, имеющего вид
Задачи
§ 3. Чисто янг-миппсовская теория
(3.1)
где Fnv= <?Л - + г Ч' Av]' = <(*ГВ. (3.2), (3.3)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 221
Матрицы Тв представляют собой генераторы одной из алгебр Ли [Тв, Tc] =
ifBCDTD, (3.4)
причем индексы В, С, D принимают значения от 1 до К, где К - размерность
алгебры Ли, определяемой полностью антисимметричными структурными
константами fBCD. В силу равенства (3.4) матрицы Тв имеют нулевой след;
они нормированы так, чтобы выполнялось соотношение
Sp(TBTc) = %5ВС. (3.5)
Возможные алгебры Ли были классифицированы в диссертации Карта-на; к ним
относятся: классические алгебры SU(N) размерности N2 - 1, N > 2; SO(.V)
размерности N(N - 1)/2, N > 2; Sp(2N) размерности N(2N + 1), N > 1, и
исключительные алгебры Ли G2(14)f F4(52), ?6(78), Е?(133) и (?g(248),
размерности которых указаны в скобках.
Можно также записать янг-миллсовское действие в виде, не зависящем от
