Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 66

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 98 >> Следующая

только что говорили.
Для иллюстрации мы будем рассматривать лагранжиан комплексных
двухкомпонентных спинорных полей. Но читатель должен помнить, что
вследствие аномалий Адлера - Велла - Джекива "калибровка" унитарных
симметрий в случае левых полей приводит к неперенормируемой теории.
Поскольку на данной стадии нас интересуют только классические выводы, мы
временно игнорируем эту тонкость. При желании читатель, чтобы чувствовать
себя спокойнее, может проделать то же построение с N дираковскими
четырехкомпонентными спинорами.
Как мы только что видели, лагранжиан
(2.П
где по а берется сумма от 1 до V, инвариантен по отношению к гло -бальным
преобразованиям группы U(N)
Ч^(х) ^UyL(x); UfU = UUf= 1, (2.2)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 215
А А
где U = е,ае'" т , (2.3)
а через ТЛ обозначены (N2 - 1) бесследовых эрмитовых матриц, являющихся
генераторами группы S U (N). Теперь мы хотим обобщить выражение (2.1)
так, чтобы включить инвариантность по отношению к локальным
преобразованиям вида (2.2),т.е. преобразованиям
VL(x< -" U(x)yL(x), (2.4)
где теперь
V = e'ia(X)eic/(x)TA' (2.5)
Заметим, что решение вопроса о том, какую часть глобальной симметрии
желательно калибровать, в значительной степени зависит от нас самих:.
Например, мы могли бы калибровать только какую-нибудь подгруппу группы
SU(N). Здесь же мы калибруем всю группу! Когда U зависит от х, член с
производной d^L уже не преобразуемся должным образом; действительно,
-* duU(x)yL{x) =[dilU(x)lvL(x) + U{x)dil^JL(x) 4 (2.6)
4 ид^ь(х). (2.7)
Таким образом, нам нужно обобщение производной, которое не нарушало бы
инвариантности лагранжиана ?. Поэтому мы вводим кова-риангтую производную
2) требуя, чтобы выполнялось соотношение
(r)UTL(*) -" V(x)\wL(x), (2.8)
или, в операторной форме,
= <2-9>
Подчеркнем, что в данном случае оператор представляет собой N х /V-
матрицу, так что, если мы хотим показать все индексы, соотношение (2.8)
следует написать в виде
(х>- <2Л0> Таким образом, если нам удастся найти подобный оператор (r)ц, то
новый лагранжиан
?'.1Ai<Du, (2.11)
2 L ц L
216
Гпава 6
будет локально инвариантным по отношению к группе U(N). Поскольку
оператор 5)^ должен быть обобщением оператора д , будем искать его в виде
(r)Ц = ^ + (2Л2)
где мы опустили индексы группы U{N); /1ц(х) - эрмитова/Vx.V-матрица с
векторными элементами, так как г<9ц- эрмитов вектор:
\(х)=^(х)1+Ав(х)Тв, (2.13)
где через Тв обозначены (hi2- 1) эрмитовых генераторов группы SU(N). Из
закона преобразования (2.9) следует, что
<ЭЦ + i^'(x) = Н(х)[<5ц + гЛ^(х)][Д (х) =
= <ЭЦ + г/(л:)[ ajJt^t(x)] + г t/(x).4p(x)yt(x), (2.14)
или Л'(х) = _Ш(х)[(9цг71'(х)] + гУ(х)Лм(х)[/Т(х). (2Л5)
Легко показать, что поля R (х) и Лв(х) преобразуется раздельно.
Действительно, взяв след выражения (^*.15), находим
Рц(х) = - -Sp (U(x)[drf (х)]) + В (х). (2.16)
С учетом равенства (см. задачу)
SPtf/(x)[<5 {Д(х)]) = -Щд а(х) (2.17)
имеем
В1 (х) =-(9ца(х) + 6ц(х), (2.18)
т.е. полученное ранее преобразование. Умножив теперь (2.15) на Тс и взяв
след, получим закон изменения N2 - 1 полей А^ t если воспользуемся
свойствами следов Т-матриц
SPTA = 0, SP(TATB) = УгЬАВ, (2.19)
записанными в обычной нормировке. Пожалуй, проще рассмотреть бесконечно
малые "калибровочные преобразования" (2.15). Полагая
U(x) = 1 + гсолГл + . . . , (2.20)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса
217
получаем
5Лц(х) = 4j(x) - Лм(х) = -ТвдцС0в(х) + i шв(х)[Т(r) Л^(х)] + 0(со2).
(2.21)
Умножив на Тс и взяв след, с учетом формул (2.19) и (2.13) находим 6Л'(Х)
= -<^сос(х) + 2i'coB(x)Sp([TB Л^(х)]ТС) + О(со2). (2.22)
Так как для операторов ТА выполняются перестановочные соотношения алгебры
Ли группы SU(N)
[ТА ТВ] = ifABCTC'
мы в результате получаем
5Л J(X) = _ (х) _ uB(x)AD(x)f bdc + 0(рг)ш (2.24)
Примечательным в этом калибровочном преобразовании (2.24) являет-
ся то, что, будучи записано в таком виде, оно не зависит от представления
исходных фермионных полей.
Вариацию (2.21) можно очень изящно переписать, перейдя к кова-риантной
производной. При преобразованиях SU(N)
ыАТА = со -> UoaU^ . (2.25)
Следовательно, ковариантная производная величины со дается выражением
(см. задачу)
^исо= г со]- (2.26)
Сравнивая с (2.21), получаем
6 Лц(х) = (2.27)
откуда следует, что, даже если само поле Л^(х) не преобразуется ко-
вариантно по отношению к SU(N) из-за члена Vd lA, бесконечно малое
изменение поля Л^(х) преобразуется ковариантно, так как его можно
выразить через ковариантную производную.
Итак, мы расширили наш лагранжиан, чтобы обеспечить его локальную 17(.У)-
симметрию. Мы добились этого ценой введения N2 векторных полей,
необходимых для построения ковариантной производной. Чтобы поля могли
существовать самостоятельно, мы должны включить их кинетические члены, не
нарушив при этом исходной локальной симметрии.
218
Глава 6
Для поля Рц(х), отвечающего общим фазовым преобразованиям, можно просто
повторить действия предыдущего параграфа. Поэтому мы сосредоточим
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed