Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
тождественно равен нулю, если имеется только одно майорановское поле.
Рассмотрим, однако, случай четного-числа майорановских полей ^М'4 ' 1 =
' • ' ' связанных с помощью антисимметричной
число-
вой матрицы Е(. . = -E-j-, элементы которой таковы:
В этом случае можно образовать инвариантные выражения вида (1.40) и
получить ненулевой результат, обеспечив антисимметризацию по бегущим
индексам i . Таким способом мы получаем отличный от нуля кинетический
член
Он инвариантен относительно преобразований, оставляющих неизменным
антисимметричное квадратичное выражение. Подобные преобразования
составляют симплектическую группу Sp(2N), а 4<м. преобразуется как
основное действительное 2\'-мерное представление. Как указывает наличие
антисимметричного тензора Е.., синглет группы Sp(2N) содержится в
антисимметричном произведении двух 2М-представлений.
[ Вследствие этого невозможно построить кинетический член для скалярного
поля, преобразующийся по представлению 2N группы Sp(2/V),] Действительно,
неприводимые представления симплектических групп входят в
симметризованные тензорные произведения, а приводимые -в
антисимметризованные (для групп вращений все наоборот). В частности,
присоединенное представление задается симметризованным произведением (2М
х 21М).сим и поэтому содержит N{2N + 1) элементов. Интересный случай
соответствует значению N = I. Мы видим, что тогда лагранжиан (1.42)
инвариантен по отношению к группе SV(2)" поскольку матрицу Е можно
отождествить с символом Леви-Чивиты е... Это не случайно: алгебры Ли
групп Sp(2), SU(2) и SU(3) одинаковы. Заметим, что в
(1.40)
1 > и i = j, i < j.
(1.41)
(1.42)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 213
действительности размерность группы Sp(2N) такая же, как и группы S0(2ы +
1). Сравнивая представления, находим, что можно отождествить группы S
0(5) и Sp{4), поскольку размерность представления 4 группы Sp(4) такая
же, как и спинора группы S0{5). Но S0{7).уже не совпадает с Sp(6), так
как в группе 50(7) нет шестимерного представления. (Более того, даже
когда алгебры Ли находятся в соответствии, их глобальные свойства могут
различаться.)
Итак, путем построения различных типов кинетических членов нам удалось
получить лагранжианы, инвариантные относительно групп 0(/V), U{N) и
Sp{2). В наш список не вошли другие группы Ли, называемые
исключительными, так как их нельзя определить на основе только
квадратичных инвариантов, подобных кинетическому и массовому членам; для
описания этих групп нужны инварианты более высокого порядка. Подобные
инварианты могут входить в ту часть лагранжиана, которая связана с
взаимодействием. Таким образом, исключительные симметрии - это симметрии
взаимодействия. Мы не приводим здесь примеров лагранжианов, инвариантных
по отношению к исключительным группам, а просто перечислим сами эти
группы; G2 с 14 генераторами, рангом 2 и только действительными
представлениями, порождаемыми фундаментальным семимерным представлением;
F4 с 52 генераторами, рангом 4 и только действительными представлениями,
порождаемыми фундаментальным 26-мерным представлением; ?& с 78
генераторами, рангом 6, имеющая действительные и комплексные
представления, порождаемые фундаментальными представлениями 27 или 27;
Е?с 133 генераторами, рангом 7 и только действительными представлениями,
по+> рождаемыми представлением 66; наконец ?g с 248 генераторами и тем
уникальным свойством, что присоединенное 248-мерное представление этой
группы является также и ее фундаментальным представлением.
Задачи
А. Пусть задана алгебра Ли [ТА, Тв] = ifABCTc, As R, С = 1,
К, где fABC - полностью антисимметричные действительные коэффициенты. Их
можно рассматривать как К матриц {fA)BC размерности К х К. Пользуясь
тождеством Якоби, покажите, что эти К х К-матрицы образуют ту же алгебру
Ли, что и матрицы ТА, если только взят надлежащий множитель (-г ).
214
Глава 5
Б" Разложите комплексный тензор третьего ранга ТаЬс, а, Ь, с = = 1, . . .
5, на S Г(5)-неприводимые компоненты.
В. Пусть заданы V - 1 разных полей Тх, Пока-
жите, что всегда можно построить из их произведения поле, преобразующееся
как представление N группы S U(N) (т.е. как представление с одним верхним
индексом).
Г. В группе S 1/(3) выразите произведение двух матриц Гелл-Манна через
такие же матрицы.
Д. Докажите, что алгебры Ли групп SU(2) и SO(3), SI7(4) и S0(6)
изоморфны.
Е. Пусть задан лагранжиан ? = %<9ЦФТ<ЭМФ, где Ф - вектор-столбец из ДГ
действительных скалярных полей; Найдите нетеровские токи и заряды. Какие
условия следует наложить на поля, чтобы нетеровские заряды образовали
алгебру Ли группы S 0(/V)?
Ж. Покажите в явной форме, что при N = 2 лагранжиан, даваемый выражением
(1.42), SU(2)-инвариантен.
§ 2. Построение локально симметричных лагранжиане*
В предыдущем параграфе мы показали, как включить в лагранжиан локальную
фазовую инвариантность. Теперь покажем, как сделать это в случае более
сложных симметрий по отношению к неабелевым группам Ли, о которых мы
