Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 63

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 98 >> Следующая

и g с электрическим зарядом. Лагранжиан ^кэд инвариантен относительно
локальной симметрии
Пх) - в Ы^Пх), А^х) ^(х) - дu сс(*),
а в отсутствие массового члена для поля Л1 еще и относительно глобального
кирального преобразования
Y(x) ^ е'\ф). (1.18)
В квантовой теории поля эта киральная симметрия не точна (вновь аномалия)
даже в отсутствие массы у электрона, но это не создает никаких проблем,
так как с ней не связано никакое калибровочное поле.
Калибровочная инвариантность не допускает наличия какого-либо массового
члена для А .
Прежде чем обощать это построение на более сложные симметрии, кратко
остановимся на разных типах глобальных симметрий. Лагранжиан для/V
действительных скалярных полей q> , . . . , <р
? - -L г - 4- ".19)
I i = 1 ь
инвариантен относительно глобальных вращений в N измерениях 0(N), под
действием которых iV-мерный вектор-столбец Ф меняется по правилу
Ф-"Ф%КФ, (1.20)
где R - матрица вращений (собственных и несобственных). Так как
произведение Фтф (длина вектора Ф) 0(Л?)-инвариантно', для матрицы R
выполняется соотношение
RTR = RRT=l. (1.21)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса
207
Матрицы собственных вращений можно записать в виде
R = ехр( - ЛЪц), П.22>
2
где со,; = -со,; - действительные параметры группы вращений, число
которых равно N(N - 1)/2, а - генераторы этой группы, число которых тоже
равно N(N - 1)/2. Рассматривая бесконечно малое изменение вектора Ф
5ф= (1.23)
чи требуя, чтобы выполнялись групповые свойства, можно доказать,> что
генераторы Zf. образуют алгебру Ли
= + "№* -Яц^к -iS/Jk2,.r (1.24)
Выше мы получили алгебру Ли для группы SO(N), пользуясь N х N-матрицами ,
действующими на /V-мерный вектор Ф. Из формул (1.21) и
(1.22) легко видеть, что эти матрицы действительны и антисимметричны.
Но можно построить много разных матриц, удовлетворяющих соотношениям
(1.24). Это объясняется тем, что можно многими разными способами
представить группу SO{N). Мы выбрали способ, при котором используется iV-
мерное представление, но с таким же успехом можно было выбрать
присоединенное представление, число измерений которого равно числу
параметров группы. В случае группы S O(N) присоединенным представлением
может служить антисимметричный тензор второго ранга = _Луг. При этом
элементы А., удобно рассматривать как элементы некой антисимметричной
матрицы А. Тогда при вращениях
A^A' = RART-, АТ = -А, (1.25)
где R - N х /V-матрица (1.22). Затем легко построить инвариантный
лагранжиан, в котором А - скалярные поля:
? = _L Sptf.^'M). (1.26)
4 м
Симметричное "квадрупольное" представление S-y = +Sможно рассмотреть
аналогичным образом, если только известно, что след тензо-
208
Глава 6
ра S инвариантен относительно преобразований группы SO{N). Начав с
представления N группы S 0(,V), можно построить более сложные
представления, описываемые тензорами более высокого ранга. В общем случае
тензор произвольно высокого ранга есть комбинация тензоров,
преобразующихся неприводимо (друг через друга) при преобразованиях
группы. Рассмотрим, например, тензор третьего ранга 7\ и возьмем для
определенности i, j, k = 1, . . . , 10. Этот тензор следующим образом
разлагается на неприводимые представления группы SO( 10):
1) полностью антисимметричная часть имеющая 10-9. 8/1• 2 • 3 = 120
компонент;
2) полностью симметричная часть 7^ , имеющая
10• 11 • 12/1 ¦ 2* 3 = 220 компонент, которая содержит, после свертки по
двум индексам, вектор Ти- с 10 компонентами; следовательно,
^(ijk) разлагается на неприводимое представление с 2Т0 компонентами и
представление с 10 компонентами;
3) тензоры со смешанной симметрией относительно перестановки индексов:
антисимметричный относительно перестановки двух индексов с 320
компонентами (= 45 • 10 - 10 -120), и симметричный только по двум
индексам с 320 + 10 компонентами.
Итак, мы получили разложение приводимого тензора третьего ранга в группе
50(10) с 1000 компонентами на неприводимые части:
1000 = 120 + 220 + 10 + 10 + 320 + 320.
Подобное построение неприводимых представлений осуществляется просто
(хотя и утомительно); единственная тонкость возникает в том случае, когда
N-четное число, и тогда можно использовать тензор Jle-ви-Чивиты е.. '' '
k с N индексами, чтобы расщепить пополам полностью антисимметричный
тензор ранга N /2. Кроме того, когда Д//2 - четное число,
антисимметризованный тензор ранга N/2 расщепляется на два действительных
и неэквивалентных представления. Когда же N/2 - нечетное число в
результате получаются два сопряженных друг другу представления. Например,
в группе SO(10) полностью антисимметричный тензор 5 ранга имеет 252
компоненты, которые расщепляются на 126-мерное представление и
сопряженное ему, причем операцию сопряжения выполняет e -символ.
Путем образования тензорных произведений векторов мы не получим всех
представлений, поскольку у группы SO(N) имеются дополнительно спинорные
представления (например, группа SO{3) имеет пред-
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed