Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 6
Калибровочные симметрии, конструкция Янга-Миллса
§ 1. Глобальные и локальные симметрии
В гл. 1 мы привели примеры .лагранжианов, содержащих поля со спином 0 и
К, но не стали рассматривать какие-либо теории, содержащие взаимодействие
с полями более высоких спинов. Дело в том, что поля со спином 1, *4 и 2
можно очень красиво ввести, просто потребовав, чтобы все симметрии, какие
только имеются в системе со спинами Уг и 0, иог-ли произвольным образом
меняться от точки к точке в пространстве-времени. Поля со спином 1
соответствуют обобщению внутренних (т.е. не-лоренцовских) симметрий; поля
со спином 2 возникают тогда, когда пространственно-временные симметрии
(глобальная инвариантность относительно группы Пуанкаре) становятся
локальными в пространстве-времени; поля со спинами '/, и 2 появляются при
обобщении глобальных суперсимметричных теорий и превращении их в
.локально супер симметричные.
Мы не будем рассматривать ;локальное обобщение пространственно-временных
симметрий, а, следуя Янгу и Миллсу [ 1 ] , сосредоточим внимание на
построении теорий, локально инвариантных относительно' внутренних
симметрий. Самый старый пример теории с скальной симметрией -
электродинамика Максвелла Общий характер понятия "калибровки" (т.е.
локализации) впервые осознала Э.Нетер [ 2]. Процедура калибровки в ее
современной форме была разработана в 20-х годах Вейлем.
Рассмотрим простейший возможный .лагранжиан, содержащий спи-норное поле,
=- i о . = 4^ сгu + Поверхностный член, (1-1)
который, как нам известно, инвариантен относительно фазового
преобразования
VL (*) -* е'аЧ^(*),
(1.2)
204
Глава 6
где а - константа. Основная идея "калибровки" этой фазовой симметрии
заключается в том, чтобы сделать .лагранжиан ? инвариантным относительно
фазовых преобразований того же вида, что и (1.2), но с константой а ,
произвольным образом зависящей от *, т.е. инвариантным относительно
преобразований
Инвариантность лагранжиана ? относительно .локального фазового
преобразования (1.3) нарушается из-за наличия в нем оператора производной
д , так как в результате преобразования (1.3) мы имеем
Чтобы получить нужное обобщение лагранжиана ? , введем новый оператор
(который будет обобщением оператора <9 ), обладающий тем свойством, что
при локальном фазовом преобразовании
Этот новый оператор производной называется ковариантной производной.
Теперь оказывается тривиальным следствием, что новый лагранжиан
инвариантен относительно преобразования (1.3). Все это превосходно, но
нужно построить саму ковариантную производную. Мы допускаем,что она имеет
вид
где А (х) - некая функция координаты х. В таком случае требование
ковариантности
Т/,(*)------* (*)
(1.3)
так что
?0->?0 + *""(*)¦
(1.5)
(1.6)
или, на операторном языке, ? -^ е,а<*> $
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 205
становится трансформационным свойством функции А^: А" (х)-** Ац (*) = Ар
(%) - (х).
Теперь уже новый лагранжиан
?= ^ (<ЭЙ + iA^(x))yL = ?0 +.*>2 стМЧ^(л;)
(1.Г2)
инвариантен относительно одновременных локальных преобразований
Глобальная симметрия .лагранжиана ?Q обобщается на,локальную симметрию,
т.е. калибруется, ценой введения нового векторного поля Лц(х),
взаимодействующего с сохраняющимся током. Как нетрудно видеть, новое поле
'Лц(х) имеет ту же размерность, что и <9 поэтому его можно отождествить с
каноническим полем в четырех измерениях (при другом числе измерений поле
нужно умножить на размерную константу связи, прежде чем его можно будет
таким образом интерпретировать). Кроме того, так как оператор г'^
эрмитов, поле А {х) действительно.
Заметив, что комбинация
инвариантна относительно калибровочного преобразования (U3), нетрудно
теперь записать кинетический член для поля Л^(х) так, чтобы сохранить эту
инвариантность. Размерность комбинации (1.14) равна -2, и поэтому мы
можем построить из нее новый лагранжиан
где g - безразмерная константа, которую можно устранить, положив Av. =
SA\i> так что если переписать все через А', то эта константа войдет в
произведение Л* на ток в формуле (1.12). Множи-
тель 1 /4 соответствует принятому определению константы g. Конечно, как
можно было бы уже догадаться, выражение (1.15) - это максвелловский
лагранжиан. У нас получилась замкнутая теория взаимодействующих полей со
спином 1 и 1/2, описываемая лагранжианом
vpL(*) pL, Ац(х) -* Ац(х)- ^а(х). (1.13)
(1-14)
? _ 1 F F^v>
(1-15)
(1.16)
206
Глава 6
Хотя эта теория и очень хороша, она неперенормируема ( в чем мы убе -
димся ниже) из-за одного неожиданного осложнения, совершенно правильно
называемого аномалией (Адлера - Белла - Джекива) и имеющего отношение к
левоспиральной природе поля . Если мы калибровочно-инвариантным образом
свяжем А с четырехкомпонентным ди-раковским полем, то никаких проблем не
возникнет и мы придем к лагранжиану
- - tV V"' * * •AM"1'- <U7>
который описывает КЭД, если отождествить А^(х) с фотоном, ? с электроном
