Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
ГЕ = ^кл im' ^ г'^кл) Ткп> +
+ Y <(Ркл (~д' +m2 + ~Y О W + OW. (4 18)
Первые квантовомеханические поправки к (4Л8) даются детерминантами (4Л4).
Пользуясь методом ?-функций, (гл. 3), установим некоторые их свойства.
Эти детерминанты более сложны из-за наличия спи-норных индексов и
обратного оператора во втором детерминанте в формуле (4.14).
Будем рассматривать частный случай постоянных полевых конфигураций и
пренебрежем всеми массами. Тогда
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
199
так что аргумент детерминанта скалярного поля принимает вид
^ _ 2 \ / i2 г') о. "-0 + А
- '¦'¦'Ко/ 1 оJ
[Р-<Э2 + -^-ф02)(-<??к/2ф2)+ 2/V ) Tj L
Ы2+/2,р2)
(4.20)
Кроме того, при постоянном <р0 фермионный детерминант равен (см. задачу)
det (t+ if90) = [det (- д2 + f2 f :ф2 )]2. (4.21)
0
На основании формулы (4.20) производящий функционал можно переписать в
виде
^ = e_5?l° [det (-д2 +P<p2)]!/j[det((-d2+ -у ф* )(-<?2+/2ф2) +
+ 2f2^\ (Э.- г/Фо) ^о)]-* , (4.22)
что, правда, допустимо только при постоянных ф0 и Т0. Чтобы еще больше
упростить дело, предположим, что Т0 - киральное поле, т.е. что
'Ptyjo-O (или vp =0); *0. (4.23)
0 И А
Тогда аргумент второго детерминанта можно переписать в виде (_ э? + А)(-
д2 + В), (4.24)
где А и В - константы, содержащие ф0 и Т J Т0 и удовлетворяющие
равенствам
А + В = (f2 + JL. )92 , (4.25)
АВ = у ^Ч " 2"73^Фо^о' (4.26)
Таким образом, задача сводится к вычислению детерминантов вида det (- д?
+С)} где С - константа. Из изложенного в гл. 3 мы знаем, что
-^ Г-A2 j. П(0)
det(- д2 + С) =е 1 ^ + CJ , (4.27)
200
Глава 5
где
4
С le \ _ ^ I С \2-S Г (s - 2)
Н-д2 + С] (5)"Тб^ {~Т ) -f d4x, (4*28)
ц Г (s)
или
Ег Д2 Г1 (°)= - --------- С2(-- +Ь -
1-д2 + С] 32 тг 2
ц2
). (4.29)
Вооружившись этими формулами, нетрудно найти однопетлевой вклад в
эффективный потенциал (см. задачу). Приведем лишь результат при
То=0:
*;аотг- 2 2 ц2 Н тт^ Ф° 2
+ Ь 1 у0 ). (4.30)
ц2
Здесь первый член такой же, как и в чисто скалярном случае; его дают
бозонные петли. Второй член - это вклад фермионных петель в потенциал;
как и полагается, он взят со знаком минус.
Масштабные свойства этих детерминантов выясняются столь же просто.
Напомним (гл. 3), что при изменении масштаба
-20 ? г__ •) 2 +¦ С, ] (^)
det [е-20 (-д2 +¦ С)] = е 1 d det (-<?? ь С), (4.31)
где I - функция, даваемая выражением (4.28), так что
det" [е-2а(-д2 4- С) ] = е-2па f^x С.2 det п {_дг + q
о * 1о тт
(4.32)
если принять, что константа С при масштабных преобразованиях меняется с
такой же размерностью, как и -д?. Более строго вопрос рас-сматривается в
гл. 3, § 6. Таким образом, однопетлевая масштабная поправка равна
Г? - Ге + М4*[ -2(A)(fV)2 + (- 2)(- _L)M2 + В2)].
12отт 2 2
(4.33)
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
201
Написав
42+В2 = (,4+:В)2_2Лй=.
= (f2 + y)2 -^2Фо +-4ifiyv\Фо^о* (4.34)
мы видим, что при изменении масштаба функция Гg приобретает чле-ны того
же типа, что и в классическом лагранжиане, а это приводит к изменению
безразмерных констант связи:
^ ^ ^ йа Л2 г 4
-5' Ь <"5>
f + ГЧ
%а
г.
(4.36)
Таков пример зависимости от масштаба в теории с несколькими кон--стантами
связи. Новое здесь в том, что изменения масштаба образуют связанную
систему. Такое явление легко объяснить, пользуясь диаграммами: фермионная
петля, очевидно, вносит вклад в константу <р4, а с точностью 0(h)
фермионная константа связи определяется только присутствием исходной
фермионной вершины:
N /
XX
/ \
У N
где штриховые линии отвечают скалярным, а сплошные - спинорным полям.
Заметим, что при изменении масштаба должны также возникать добавки к
фермионному и скалярному кинетическим членам, но в нашем приближении
постоянных полей эти добавки не появились [ формулы (4.35) и (4.36)].
Например, фермионный детерминант det (д + (/<р) нельзя записать в виде
(4.21), если q> зависит от ж. В общем случае в закон масштабного
преобразования этого детерминанта будет входить кинетический член; это
соответствует тому, что сами поля приобретают на однопетлевом уровне
аномальные размерности, проистекающие от диаграммы Q * В
чистой теории ср4 скалярное
поле приобретает аномальную размерность только на двухпетлевом уровне,
так что при изменении масштаба детерминантов данный эффект не
проявляется. Итак, формулы (4.35) и (4.36) должны быть поправлены с
учетом перенормировки волновой функции.
202
Глава 5
Задачи
А . Покажите, что если пренебречь членами 0(h), то 1~Е [ 1W ^кл, 1 есть
классическое действие.
Б. Покажите, что в четырех измерениях det (д ? im) = [det(-<9? +
+ т2) ]2.
В. Найдите однопетлевой вклад в потенциал, включая вклад ферми= онов.
*Г. Пользуясь диаграммами, выведите на однопетлевом уровне формулы для
зависимости X и f от масштаба (с учетом перенормиров^ ки волновой
функции) и сравните с формулами (4.35) и (4.36).
ЛИТЕРАТУРА
1. Coleman S., in: Ргос. of the 1977 Int. School of Subnuclear Physics,
Erice, Italy, ed. A. Zichichi, Acad. Press, 1979.
